bất đẳng thức am gm

Bách khoa toàn thư cởi Wikipedia

Bài này ghi chép về bất đẳng thức tầm nằm trong và tầm nhân. Đối với bất đẳng thức vô tích vectơ, coi Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Bạn đang xem: bất đẳng thức am gm

Chứng minh trực quan lại đã cho chúng ta biết (x + y)2 ≥ 4xy. Lấy căn bậc nhì và phân chia cho tới nhì tao được bất đẳng thức AM–GM.[1]

Trong toán học tập, bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức đối chiếu thân thiện tầm nằm trong và tầm nhân của n số thực không âm. Tên gọi trúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Vì có tương đối nhiều phương pháp để minh chứng bất đẳng thức này tuy nhiên cơ hội minh chứng quy hấp thụ của Cauchy được review là hiệu suất cao nhất nên nhiều người lầm lẫn rằng Cauchy phân phát xuất hiện bất đẳng thức này. Ông đơn thuần người thể hiện cơ hội minh chứng vô cùng hoặc của tớ chứ không cần cần là kẻ phân phát xuất hiện trước tiên. Theo cơ hội gọi thương hiệu cộng đồng của quốc tế, bất đẳng thức Bunyakovsky mang tên là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, còn bất đẳng thức Cauchy mang tên là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means).

Tổng quát[sửa | sửa mã nguồn]

Bất đẳng thức AM-GM có thể được tuyên bố như sau:

Trung bình nằm trong của n số thực không âm luôn luôn to hơn hoặc bởi vì tầm nhân của bọn chúng, và tầm nằm trong chỉ bởi vì tầm nhân khi và chỉ khi n số cơ đều bằng nhau.
  • Với 2 số thực ko âm a và b:
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi
  • Với 3 số thực ko âm a, b và c:
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c
  • Với n số thực ko âm:
, với n là số bất ngờ to hơn 1
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi

Trung bình với hệ số :[sửa | sửa mã nguồn]

Cho n số x1, x2,..., xn ≥ 0 và những thông số α1, α2,..., αn > 0

Đặt .

Bất đẳng thức tầm nằm trong và tầm nhân cũng như nếu như nhì độ quý hiếm tầm với thông số, như sau:

Dấu " = " xẩy ra khi và chỉ khi

Với những loại tầm khác :[sửa | sửa mã nguồn]

Trung bình điều tiết ≤ tầm nhân ≤ tầm cộng

Đẳng thức khi và chỉ khi

Ví dụ ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hàm số sau:

Với x, yz là những số thực dương. Giả sử rằng tao cần tìm hiểu độ quý hiếm nhỏ nhất của hàm số tiếp tục cho tới. Biến thay đổi và vận dụng bất đẳng thức Cauchy tao có:

Vậy tao có mức giá trị nhỏ nhất của:

Chứng minh bởi vì quy nạp[sửa | sửa mã nguồn]

Đặt:

bất đẳng thức tương tự với
x1,...,xn là những số thực ko âm, tao có:

dấu bởi vì xẩy ra nếu như μ = xi với từng i = 1,...,n.

Chứng minh tiếp sau đây vận dụng cách thức quy hấp thụ toán học tập.

Cơ sở: với n = 1 bất đẳng thức trúng.

Giả thiết quy nạp: fake sử rằng bất đẳng thức trúng với n (n ≥ 1).

Quy nạp: xét n + 1 một vài thực ko âm. Ta có:

Nếu toàn bộ những số đều bởi vì μ, thì tao với đẳng thức và được minh chứng. trái lại, tao tiếp tục tìm ra tối thiểu một vài nhỏ rộng lớn μ và một vài to hơn μ, ko tổn thất tính tổng quát mắng, coi rằng: xn > μxn+1 < μ. Ta có:

Xét n số sau:

với

cũng là số ko âm. Từ đó:

μ cũng chính là tầm nằm trong của và bám theo fake thuyết quy hấp thụ tao có:

Mặt không giống kể từ (*) tao có:

hay là

hiển nhiên μ > 0. Nếu với tối thiểu một trong các x1,...,xn−1 bởi vì ko, tao thường thấy bất đẳng thức trúng và lốt bởi vì ko xẩy ra. trái lại, kể từ (**) và (***) tao có:

bất đẳng thức được minh chứng.

Chứng minh cho tới tình huống ko hệ số[sửa | sửa mã nguồn]

Trường hợp ý n = 2[sửa | sửa mã nguồn]

Với từng thực , tao luôn luôn có:

Trường hợp ý n = 2k[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử

Ta có:

Xem thêm: sword art online progressive 2

Áp dụng bất đẳng thức Côsi với tình huống , tao lại có:

Từ , tao dành được bất đẳng thức:

(đpcm)

Trường hợp ý n = 2k - 1[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với tình huống , tao lại có:

Từ , tao có:

Cuối nằm trong, tao được bất đẳng thức:

(đpcm)

Chứng minh của Pólya[sửa | sửa mã nguồn]

George Pólya thể hiện một minh chứng cho tới bất đẳng thức như sau:[2]

Gọi f(x) = ex−1x, với đạo hàm f'(x) = ex−1 − 1. Ta thấy f'(1) = 0 và kể từ cơ f có mức giá trị nhỏ nhất bên trên f(1) = 0. Từ cơ x ≤ ex−1 so với từng số thực x.

Xét một mặt hàng những số thực ko âm với tầm nằm trong μ. kề dụng bất đẳng thức phía trên tao có:

Nhưng số nón hoàn toàn có thể rút gọn gàng thành:

Trở lại (1),

và tương tự với:

Chứng minh của Cauchy[sửa | sửa mã nguồn]

Các tình huống toàn bộ những độ quý hiếm bởi vì nhau[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu toàn bộ những độ quý hiếm bởi vì nhau:

tức tổng bọn chúng là nx1, bởi vậy độ quý hiếm tầm nằm trong là x1; và tích những số bên dưới căn bậc nhì là x1n, vì thế dó độ quý hiếm tầm nhân thời điểm hiện nay là x1; vậy nên, vế một và vế nhì đều bằng nhau, điều cần minh chứng.

Các tình huống những độ quý hiếm ko bởi vì nhau[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu toàn bộ những độ quý hiếm đều bằng nhau ko đều bằng nhau, thì độ quý hiếm tầm nằm trong to hơn độ quý hiếm tầm nhân. Rõ ràng, điều này chỉ hoàn toàn có thể xẩy ra khi n > 1. Trường hợp ý này khá phức tạp và được chia nhỏ ra nhiều tình huống nhằm minh chứng.

Trường hợp ý n = 2[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu n = 2, tức với nhì độ quý hiếm x1x2, và kể từ fake thiết phía trên, tao có:

Ta với điều cần minh chứng.

Trường hợp ý n = 2k[sửa | sửa mã nguồn]

Xem xét những tình huống n = 2 k, với k là một vài vẹn toàn dương. Chúng tôi tổ chức bởi vì quy hấp thụ toán học tập.

Trong tình huống cơ bạn dạng, k = 1, tức n = 2, bất đẳng thức và đã được minh chứng phía trên.

Khi, với cùng 1 độ quý hiếm k > 1 ngẫu nhiên, fake sử rằng bất đẳng thức trúng với n = 2k−1, và cần thiết minh chứng rằng nó vẫn đúng vào lúc n = 2k. Để thực hiện vì vậy, quá trình được triển khai như sau:

với bất đẳng thức trước tiên, nhì mặt mày đều đều bằng nhau chỉ khi cả nhì điều sau đấy là đúng:

(Trong tình huống này, tầm số học tập loại nhất và tầm nhân loại 1 bởi vì x1, và tương tự động với tầm số học tập loại nhì và tầm nhân loại 2); và vô bất đẳng thức loại nhì, Hai mặt mày chỉ đều bằng nhau nếu như nhì độ quý hiếm tầm đều bằng nhau. Vì ko cần toàn bộ nhì k đều đều bằng nhau, ko thể cho tất cả nhì bất đẳng thức được đẳng, vậy nên tất cả chúng ta biết rằng:

(điều cần hội chứng minh).

Trường hợp ý n < 2k[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu n ko cần là 1 trong hàm nón bất ngờ cơ số 2, thì nó chắc chắn rằng là nhỏ rộng lớn một vài này cơ bám theo hàm nón bất ngờ cơ số 2, vì thế chuỗi 2, 4, 8,..., 2k,... không trở nên ngăn bên trên. Do cơ, tuy nhiên ko tổn thất tính tổng quát mắng, với m độ quý hiếm tuân bám theo hàm nón bất ngờ cơ số 2 to hơn n.

Vì vậy, nếu như tao với n số, thì tao hoàn toàn có thể trình diễn độ quý hiếm tầm nằm trong α, và được không ngừng mở rộng như sau:

Sau cơ tao có:

như vậy:

Ta suy đi ra điều cần minh chứng.

Xem thêm: xem phim truy tim hung thu

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Các hệ trái khoáy của bất đẳng thức Cauchy[sửa | sửa mã nguồn]

  1. Tổng của một vài thực dương và nghịch ngợm hòn đảo của chính nó luôn luôn đạt độ quý hiếm ít nhất là 2.
  2. Hai số thực dương với tổng ko thay đổi thì tích 2 số cơ đạt độ quý hiếm rộng lớn nhất lúc 2 số cơ đều bằng nhau.
  3. Hai số thực dương với tích ko thay đổi thì tổng 2 số cơ đạt độ quý hiếm nhỏ nhất lúc 2 số cơ đều bằng nhau.

Ý nghĩa hình học tập của những hệ trái khoáy nêu trên[sửa | sửa mã nguồn]

Trong những hình chữ nhật với nằm trong chu vi, hình vuông vắn với diện tích S rộng lớn nhất

Trong những hình chữ nhật với nằm trong diện tích S, hình vuông vắn với chu vi nhỏ nhất

Trong những nghành khác[sửa | sửa mã nguồn]

Việc dùng bất đẳng thức gom tất cả chúng ta thật nhiều trong các công việc giải những phương trình vô tỉ. Ứng dụng vô Vật lý học tập nhằm tham khảo năng suất cực to.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Bất đẳng thức Ky Fan

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Arthur Lohwater (1982). “Introduction lớn Inequalities”. Online e-book in PDF format.
  • Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, Paris, 1821 (tiếng Pháp)