Lý thuyết và bài tập về bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Cosi là 1 trong những trong mỗi kiến thức và kỹ năng toán học tập thịnh hành, được dùng nhằm giải nhiều loại toán về phương trình và bất phương trình không giống nhau giống như lần độ quý hiếm lớn số 1 và độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức. Trong nội dung bài viết này, Team Marathon Education sẽ hỗ trợ những em làm rõ rộng lớn những kiến thức và kỹ năng về bất đẳng thức Cosi mang đến 2 số, mang đến 3 số, dạng tổng quát mắng và hệ trái khoáy với một vài bài xích tập dượt áp dụng với đáp án.

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Bất Đẳng Thức Đại Số Lớp 10

Bạn đang xem: bđt cosi

Bất đẳng thức Cosi là gì?

Bất đẳng thức Côsi là gì? (Nguồn: Internet)

Bất đẳng thức Cosi là 1 trong những bất đẳng thức cổ xưa vô toán học tập, bắt mối cung cấp kể từ bất đẳng thức thân mật khoảng nằm trong và khoảng nhân (AM – GM). BĐT Cosi được chứng tỏ vày ngôi nhà toán học tập người pháp Augustin – Louis Cauchy. Ngoài thương hiệu Cosi, nhiều người hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy hoặc bất đẳng thức AM – GM (viết tắt của của Arithmetic Mean và Geometric Mean).

>>> Xem thêm: Bất Đẳng Thức Mincopxki Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án Chi Tiết

Các dạng màn biểu diễn bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Côsi hoàn toàn có thể được màn biểu diễn vày dạng tổng quát mắng hoặc bên dưới nhiều loại quan trọng đặc biệt không giống nhau.

Bất đẳng thức Côsi dạng tổng quát

Với những số thực ko âm x₁, x₂,…, x_n tao hoàn toàn có thể màn biểu diễn bất đẳng thức Cosi bên dưới 3 dạng như sau:

\begin{aligned}
&\bull \textbf{Dạng 1}: \frac{x_!+x_2+...+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}\\
&\bull \textbf{Dạng 2}: x_1+x_2+...+x_n\ge n. \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}\\
&\bull \textbf{Dạng 3}:\left(\frac{x_!+x_2+...+x_n}{n} \right)^n\ge x_1.x_2...x_n
\end{aligned}

Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc x₁ = x₂ = … = x_n

Với những số thực dương x₁, x₂,…, x_n tao có:

\begin{aligned}
&\bull \textbf{Dạng 1}: \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\ge \frac{n^2}{x_1+x_2+...+x_n}\\
&\bull \textbf{Dạng 2}: (x_1+x_2+...+x_n)\left( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\right) \ge n^2
\end{aligned}

Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc x₁ = x₂ = … = x_n

Dạng đặc biệt của bất đặng thức Cauchy

Một số dạng màn biểu diễn quan trọng đặc biệt không giống của bất đẳng thức Côsi:

dạng màn biểu diễn quan trọng đặc biệt của bất đẳng thức cosi

Hệ trái khoáy của bất đẳng thức Côsi

Từ công thức tổng quát mắng và những dạng quan trọng đặc biệt, tao với 2 hệ trái khoáy cần thiết của bất đẳng thức Cauchy nhưng mà những em cần thiết ghi ghi nhớ sau đây. Các hệ trái khoáy này thông thường được vận dụng nhiều trong công việc lần độ quý hiếm lớn số 1 và độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức.

Hệ trái khoáy 1: Nếu tổng của 2 số dương ko thay đổi thì tích của bọn chúng rộng lớn nhất lúc 2 số cơ cân nhau.
Hệ trái khoáy 2: Nếu tích của 2 số dương ko thay đổi thì tổng của 2 số này nhỏ nhất lúc 2 số cơ cân nhau.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực ko âm

Với 2 số thực ko âm a và b, tao thấy Lúc a và b đều vày 0 thì biểu thức này luôn luôn đích thị. Lúc này, tao chỉ việc chứng tỏ bất đẳng thức Cosi luôn luôn đích thị với 2 số a, b dương.

Cách chứng tỏ như sau:

\begin{aligned}
&\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\\
&\Leftrightarrow a+b \ge 2\sqrt{ab}\\
&\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge 0\\
&\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge0\text{ (luôn đích thị }\forall a,b\ge0)
\end{aligned}

Như vậy, tao tiếp tục chứng tỏ được BĐT Cosi luôn luôn đích thị với 2 số thực ko âm.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số thực ko âm

Với a, b, c đều vày 0, bất đẳng thức Cosi luôn luôn đúng
Với a, b, c dương, tao chứng tỏ BĐT Cosi như sau:

\begin{aligned}
&\text{Đặt }x=\sqrt[3]a, \ y=\sqrt[3]b,\ z=\sqrt[3]c\\
&\Rightarrow x,y,z\ge0\Rightarrow x+y+z\ge0
\end{aligned}

Lúc này, tao trở lại dạng chứng tỏ bất đẳng thức của 3 số thực x, hắn, z dương

\begin{aligned}
&(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz \ge0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2]-3xy(x+y+z)\ge 0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz)-3xy(x+y+z)\ge 0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\ge 0\\
&\Leftrightarrow 2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\ge 0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz)\ge 0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2]\ge 0\text{ (luôn đích thị }\forall x,y,z\ge0)\\
\end{aligned}

Khi cơ, vệt vày xẩy ra Lúc x = hắn = z hoặc a = b = c

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực ko âm

Theo chứng tỏ bất đẳng thức Cosi với 2 số dương tao được biểu thức luôn luôn đích thị. Suy rời khỏi, với n = 2 (2 số thực ko âm) thì BĐT Cosi luôn luôn đích thị.

Xem thêm: when the old school friends met

Do cơ, nhằm chứng tỏ bất đẳng thức luôn luôn đích thị với n số thì nên chứng tỏ nó cũng giống với 2n số. Cách chứng tỏ như sau:

x_1+x_2+...+x_n\ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}+n\sqrt[n]{x_{n+1}x_{n+2}...x_{2n}}\ge 2n\sqrt[2n]{x_{n+1}x_{n+2}...x_{2n}}

Theo đặc thù quy hấp thụ thì bất đẳng thức này đích thị với n là 1 trong những lũy quá của 2.

Giả sử bất đẳng thức Cosi đích thị với n số, tao chứng tỏ được nó luôn luôn đích thị với n-1 số như sau:

\begin{aligned}
&x_1+x_2+...x_n\ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}\\
&x_n=\frac{s}{n-1} \text{ với }s=x_1+x_2+...+x_n\\
&\Rightarrow s \ge (n-1)\sqrt[n-1]{x_1x_2...x_{n-1}}
\end{aligned}

BĐT Cosi với 2n số và (n – 1) số luôn luôn đích thị, kể từ cơ tao hoàn toàn có thể tóm lại rằng BĐT Cosi với n số thực ko âm luôn luôn đích thị.

Bài tập dượt vận dụng

Dạng 1: sát dụng bất đẳng thức Cosi trực tiếp

Cho 3 số dương a, b, c, hãy hội chứng minh:

\left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac1c\right)\left(c+\frac1a\right)\ge 8

Hướng dẫn giải:

Áp dụng BĐT Cosi, tao có:

\begin{aligned}
&a+\frac1b \ge 2\sqrt{\frac{a}{b}}\ ;\ b+\frac1c \ge 2\sqrt{\frac{b}{c}}\ ;\ c+\frac1a \ge 2\sqrt{\frac{c}{a}}\\
&\Leftrightarrow \left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac1c\right)\left(c+\frac1a\right)\ge 8\sqrt{\frac{a}{b}}.\sqrt{\frac{b}{c}}\sqrt{\frac{c}{a}}=8\text{ (điều nên hội chứng minh)}

\end{aligned}

Đẳng thức xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a = b = c.

Dạng 2: Biến thay đổi nhân phân tách, thêm thắt, rời một biểu thức

Cho 3 số thực dương a, b, c, chứng tỏ rằng:

\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, tao có:

\begin{aligned}
&\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge 2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\ (1)\\
&\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2c\ (2)\\
&\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2a\ (3)\\
&(1)+(2)+(3) \Leftrightarrow2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge 2(a+b+c)\\
&\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\text{ (điều nên hội chứng minh)}
\end{aligned}

Đẳng thức xẩy ra Lúc a = b = c.

Xem thêm: xem phim lậu việt nam

Tham khảo tức thì những khoá học tập online của Marathon Education

Qua nội dung bài viết bên trên phía trên, Team Marathon Education tiếp tục share cho tới những em toàn cỗ nội dung tương quan cho tới bất đẳng thức Cosi lớp 8, lớp 9, lớp 10 bao hàm khái niệm, hệ trái khoáy, cơ hội chứng tỏ cùng theo với những dạng bài xích tập dượt thông thường bắt gặp với đáp án cụ thể. Hy vọng với những kiến thức và kỹ năng này, những em hoàn toàn có thể giải đảm bảo chất lượng những bài xích tập dượt tương quan cho tới bất đẳng thức Côsi trong những bài xích đánh giá toán tiếp đây.

Hãy contact tức thì với Marathon và để được tư vấn nếu như những em mong muốn học online trực tuyến nâng lên kiến thức và kỹ năng nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong số bài xích đánh giá và kỳ thi đua chuẩn bị tới!