Đẳng thức lượng giác

Bách khoa toàn thư cởi Wikipedia

Lượng giác

Khái quát Lịch sử Ứng dụng Hàm Hàm ngược
Tham khảo
Đẳng thức Giá trị quánh biệt Bảng Đường tròn xoe đơn vị
Định lý
Sin Cos Tang Cotang Pythagoras
Vi tích phân
Phép thế lượng giác Tích phân Hàm nghịch tặc đảo Đạo hàm
x t s

Trong toán học tập, những đẳng thức lượng giác là những phương trình chứa chấp những dung lượng giác, đích với cùng 1 dải rộng lớn những độ quý hiếm của trở nên số.

Bạn đang xem: các đẳng thức lượng giác

Các đẳng thức này hữu ích mang lại việc rút gọn gàng những biểu thức chứa chấp dung lượng giác. Ví dụ trong các công việc tính tích phân với những hàm ko nên là lượng giác: rất có thể thay cho bọn chúng tự những dung lượng giác và người sử dụng các đẳng thức lượng giác nhằm đơn giản và giản dị hóa luật lệ tính.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Tuần trả, đối xứng và tịnh tiến[sửa | sửa mã nguồn]

Các đẳng thức sau rất có thể hay thấy bên trên vòng tròn xoe đơn vị:

Tuần trả (k nguyên)	Đối nhau:	Phụ nhau	Bù nhau	Hơn xoàng nhau	Hơn xoàng nhau

Đẳng thức sau cũng nhiều khi hữu ích:

với

Đẳng thức Pytago[sửa | sửa mã nguồn]

Các đẳng thức sau phụ thuộc tấp tểnh lý Pytago.

Đẳng thức thứ hai và 3 rất có thể suy đi ra kể từ đẳng thức đầu tự phân chia nó mang lại cos²(x) và sin²(x).

Công thức nằm trong trừ lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm thắt Định lý Ptolemy

Cách minh chứng nhanh chóng những công thức này là người sử dụng công thức Euler.

với

và

Công thức góc bội[sửa | sửa mã nguồn]

Bội hai[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức sau rất có thể suy đi ra kể từ những công thức bên trên. Cũng rất có thể người sử dụng công thức de Moivre với n = 2.

Công thức góc kép rất có thể dùng để làm lần cỗ phụ vương Pytago. Nếu (a, b, c) là cỗ phụ vương Pytago thì (a² − b², 2ab, c²) cũng vậy.

Bội ba[sửa | sửa mã nguồn]

Cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ của tình huống n = 3:

Nâng cao[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức hạ bậc[sửa | sửa mã nguồn]

Giải những phương trình ở công thức bội mang lại cos²(x) và sin²(x), thu được:

Công thức góc phân chia đôi[sửa | sửa mã nguồn]

Thay x/2 mang lại x nhập công thức bên trên, rồi giải phương trình mang lại cos(x/2) và sin(x/2) nhằm thu được:

Dẫn đến:

Nhân với kiểu số và tử số 1 + cos x, rồi người sử dụng tấp tểnh lý Pytago nhằm đơn giản và giản dị hóa:

Tương tự động, lại nhân với kiểu số và tử số của phương trình (1) tự 1 − cos x, rồi đơn giản và giản dị hóa:

Suy ra:

Nếu

thì:

Xem thêm: the 100 season 3

and

Phương pháp người sử dụng t thay cho thế như bên trên hữu ích nhập giải tích nhằm trả những tỷ trọng thức chứa chấp sin(x) và cos(x) trở thành hàm của t. Cách này canh ty tính đạo hàm của biểu thức dễ dàng và đơn giản.

Biến tích trở thành tổng[sửa | sửa mã nguồn]

Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên rất có thể suy đi ra.

Biến tổng trở thành tích[sửa | sửa mã nguồn]

Thay x tự (x + y) / 2 và y tự (x – y) / 2, suy ra:

Hàm lượng giác ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Dạng số phức[sửa | sửa mã nguồn]

với

Tích vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Trong những phần mềm với hàm đặc trưng, những tích vô hạn sau đem ích:

Đẳng thức số[sửa | sửa mã nguồn]

Cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

Richard Feynman kể từ nhỏ tiếp tục ghi nhớ đẳng thức sau:

Tuy nhiên nó là tình huống riêng rẽ của:

Đẳng thức số sau không được tổng quát lác hóa với trở nên số:

Đẳng thức sau đã cho thấy Điểm lưu ý của số 21:

Một phương pháp tính pi rất có thể phụ thuộc đẳng thức số sau, tự John Machin lần thấy:

hay người sử dụng công thức Euler:

Một số độ quý hiếm lượng giác thông dụng:

Dùng tỷ trọng vàng φ:

- -

Nâng cao[sửa | sửa mã nguồn]

Giải tích[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức nhập giải tích sau người sử dụng góc đo tự radian

Các đẳng thức sau rất có thể suy đi ra kể từ bên trên và những quy tắc của đạo hàm:

Các biểu thức về tính chất tích phân rất có thể lần bên trên list tích phân với dung lượng giác và list tích phân với dung lượng giác ngược.

Hàm lượng giác nghịch tặc đảo[sửa | sửa mã nguồn]

Các dung lượng giác tuần trả, vậy nên nhằm lần hàm nghịch tặc hòn đảo, cần thiết số lượng giới hạn miền của hàm. Dươi đó là khái niệm những dung lượng giác nghịch tặc đảo:

Giới hạn miền	Định nghĩa
-π/2 < y < π/2	y = arcsin(x) Lúc và chỉ Lúc x = sin(y)
0 < y < π	y = arccos(x) Lúc và chỉ Lúc x = cos(y)
-π/2 < y < π/2	y = arctan(x) Lúc và chỉ Lúc x = tan(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0	y = arccot(x) Lúc và chỉ Lúc x = cot(y)
0 < y < π và y ≠ π/2	y = arcsec(x) Lúc và chỉ Lúc x = sec(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0	y = arccsc(x) Lúc và chỉ Lúc x = csc(y)

Các hàm nghịch tặc hòn đảo rất có thể được ký hiệu là sin⁻¹ hoặc cos⁻¹ thay cho mang lại arcsin và arccos. Việc người sử dụng ký hiệu nón rất có thể tạo nên lầm lẫn với hàm nón của dung lượng giác.

Xem thêm: truyện tranh đảo hải tặc

Các dung lượng giác nghịch tặc hòn đảo cũng rất có thể được khái niệm tự chuỗi vô hạn: