các hàm lượng giác

By Admin 24/09/2023 0
Đồ thị hàm sin
Đồ thị hàm cos
Đồ thị hàm tan
Đồ thị hàm cot
Đồ thị hàm sec
Đồ thị hàm csc
Lượng giác
  • Khái quát
  • Lịch sử
  • Ứng dụng
  • Hàm
    • Hàm ngược
Tham khảo
  • Đẳng thức
  • Giá trị đặc biệt
  • Bảng
  • Đường tròn trặn đơn vị
Định lý
  • Sin
  • Cos
  • Tang
  • Cotang
  • Pythagoras
Vi tích phân
  • Phép thế lượng giác
  • Tích phân
    • Hàm nghịch tặc đảo
  • Đạo hàm
  • x
  • t
  • s

Trong toán học tập thưa công cộng và lượng giác học tập thưa riêng biệt, những hàm lượng giác là những hàm toán học tập của góc, được sử dụng Khi phân tích tam giác và những hiện tượng lạ với đặc điểm tuần trả. Các nồng độ giác của một góc thông thường được khái niệm vì chưng tỷ trọng chiều nhiều năm nhì cạnh của tam giác vuông chứa chấp góc tê liệt, hoặc tỷ trọng chiều nhiều năm Một trong những đoạn trực tiếp nối những điểm đặc trưng bên trên vòng tròn trặn đơn vị chức năng. Những khái niệm văn minh rộng lớn thông thường coi các hàm lượng giác là chuỗi số vô hạn hoặc là nghiệm của một số trong những phương trình vi phân, điều này được cho phép nồng độ giác hoàn toàn có thể với đối số là một số trong những thực hoặc một số trong những phức bất kì.

Các nồng độ giác ko cần là những hàm số đại số và hoàn toàn có thể xếp vô loại hàm số siêu việt.

Bạn đang xem: các hàm lượng giác

Các nồng độ giác cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

Ngày ni, tất cả chúng ta thông thường thao tác với sáu nồng độ giác cơ bạn dạng, được liệt kê vô bảng bên dưới, tất nhiên tương tác toán học tập Một trong những hàm.

Hàm Viết tắt Liên hệ
Sin sin
Cos cos
Tan tan
Cot cot
Sec sec
Csc csc

Trong lịch sử dân tộc, một số trong những nồng độ giác không giống đang được nói đến, tuy nhiên ni không nhiều sử dụng là:

Xem thêm thắt bài bác đẳng thức lượng giác nhằm hiểu thêm thật nhiều tương tác không giống nữa thân thuộc các hàm lượng giác.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Những phân tích một cơ hội khối hệ thống và việc lập bảng tính các hàm lượng giác được nghĩ rằng triển khai lần thứ nhất vì chưng Hipparchus ở Nicaea (180-125 TCN), người đang được lập bảng tính chừng nhiều năm của những cung tròn trặn (có độ quý hiếm vì chưng góc, A, nhân với nửa đường kính, r) và chiều nhiều năm của thừng cung ứng (2r sin(A/2)). Sau tê liệt, Ptolemy (thế kỷ II) nối tiếp trở nên tân tiến công trình xây dựng bên trên vô quyển Almagest, dò thám ra sức thức nằm trong và trừ mang lại sin(A + B) và cos(A + B). Ptolemy đã và đang suy ra mắt được công thức nửa-góc sin(A/2)2 = (1 − cos(A))/2, được cho phép ông lập bảng tính với bất kể chừng đúng đắn quan trọng nào là. Những bảng tính của Hipparchus và Ptolemy ni đã biết thành thất truyền.

Các trở nên tân tiến về lượng giác tiếp theo sau ra mắt ở chặn Độ, vô công trình xây dựng Siddhantas (khoảng thế kỷ IV–V), khái niệm hàm sin bám theo nửa góc và nửa thừng cung. Quyển Siddhantas cũng chứa chấp bảng tính hàm sin cổ nhất còn tồn bên trên đến giờ (cùng với những độ quý hiếm 1 − cos), cho những góc có mức giá trị kể từ 0 cho tới 90 chừng xa nhau 3.75 chừng.

Công trình chặn giáo này sau này được dịch và trở nên tân tiến thêm thắt vì chưng người Ả Rập. Đến thế kỷ X, người Ả Rập đang được sử dụng cả sáu nồng độ giác cơ bạn dạng (trong kiệt tác Abu'l-Wefa), với những bảng tính hàm sin cho những góc xa nhau 0.25 chừng, với chừng đúng đắn cho tới 8 chữ số thập phân sau vết phẩy, và bảng tính hàm tan.

Từ sin nhưng mà ngày này tớ sử dụng khởi nguồn từ chữ La tinh anh sinus ("vịnh" hoặc "gập"), dịch sai sót kể từ chữ Phạn jiva (hay jya). Jiva (vốn được phát âm không hề thiếu là ardha-jiva, "nửa-dây cung", vô quyển Aryabhatiya thế kỷ VI) được fake tự động quý phái giờ đồng hồ Ả Rập là jiba (جب), tuy nhiên bị sai sót trở nên kể từ không giống, jaib (جب) ("vịnh"), vì chưng những dịch fake ở châu Âu như Robert ở Chester và Gherardo ở Cremona vô quyển Toledo (thế kỷ XII). Sự lầm lẫn này hoàn toàn có thể là vì jiba (جب) và jaib (جب) được viết lách như thể nhau vô giờ đồng hồ Ả Rập (đa số nguyên vẹn âm bị lược vứt vô bảng vần âm Ả Rập).

Các công trình xây dựng trước tiên này về các hàm lượng giác đều được trở nên tân tiến vô phân tích thiên văn. Có lẽ cuốn sách trước tiên chỉ triệu tập phân tích về lượng giác là De triangulis omnimodus (1464) và Tabulae directionum của Regiomontanus (1436–1476). Quyển Tabulae directionum nói tới hàm tang.

Quyển Opus palatinum de triangulis của Rheticus, một học tập trò của Copernicus, là cuốn sách trước tiên khái niệm các hàm lượng giác vì chưng tam giác vuông chứ không sử dụng vòng tròn trặn đơn vị chức năng, tất nhiên bảng tính 6 nồng độ giác cơ bạn dạng. Công trình này được hoàn mỹ vì chưng học tập trò của Rheticus là Valentin Otho năm 1596.

Quyển Introductio in analysin infinitorum (1748) của Euler triệu tập mô tả cơ hội tiếp cận giải tích cho tới các hàm lượng giác, khái niệm bọn chúng bám theo những chuỗi vô vàn và trình làng "Công thức Euler" eix = cos(x) + i sin(x). Euler đang được sử dụng những ký hiệu viết lách tắt sin., cos., tang., cot., sec., và cosec. như thể ngày này.

Định nghĩa vì chưng tam giác vuông[sửa | sửa mã nguồn]

Một tam giác vuông luôn luôn có một góc 90° (π/2 radian), được ký hiệu là C vô hình này. Góc A và B hoàn toàn có thể thay cho thay đổi. Các nồng độ giác thể hiện tại côn trùng tương tác chiều nhiều năm những cạnh và kích cỡ những góc của tam giác vuông.

Có thể khái niệm các hàm lượng giác của góc A, bằng sự việc hình thành một tam giác vuông chứa chấp góc A. Trong tam giác vuông này, những cạnh được gọi là như sau:

  • Cạnh huyền là cạnh đối lập với góc vuông, là cạnh nhiều năm nhất của tam giác vuông, h bên trên hình vẽ.
  • Cạnh đối là cạnh đối lập với góc A, a bên trên hình vẽ.
  • Cạnh kề là cạnh nối thân thuộc góc A và góc vuông, b bên trên hình vẽ.

Dùng hình học tập Ơclit, tổng những góc vô tam giác là pi radian (hay 180⁰). Khi đó:

Hàm Định nghĩa Biểu thức
Sin Cạnh đối phân chia mang lại cạnh huyền
Cos Cạnh kề phân chia mang lại cạnh huyền
Tan Cạnh đối phân chia mang lại cạnh kề
Cot Cạnh kề phân chia mang lại cạnh đối
Sec Cạnh huyền phân chia mang lại cạnh kề
Csc Cạnh huyền phân chia mang lại cạnh đối

Định nghĩa vì chưng vòng tròn trặn đơn vị[sửa | sửa mã nguồn]

Các nồng độ giác cũng hoàn toàn có thể được khái niệm vì chưng vòng tròn trặn đơn vị chức năng, một vòng tròn trặn với nửa đường kính vì chưng 1 và tâm trùng với tâm của hệ tọa chừng. Định nghĩa sử dụng vòng tròn trặn đơn vị chức năng thực rời khỏi cũng nhờ vào tam giác vuông, tuy nhiên bọn chúng hoàn toàn có thể khái niệm cho những từng góc là số thực, chứ không những số lượng giới hạn thân thuộc 0 và Pi/2 radian. Các góc to hơn 2π hoặc nhỏ rộng lớn −2π cù vòng bên trên đàng tròn trặn.

Dùng đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Vòng tròn trặn đơn vị chức năng và một số trong những điểm đặc trưng ứng với một số trong những góc đặc trưng.

Vòng tròn trặn đơn vị chức năng là từng điểm (x, y) bên trên mặt mày bằng phẳng của hình học tập bằng phẳng thỏa mãn:

x2 + y2 = 1

Gọi góc θ là góc thân thuộc đường thẳng liền mạch nối tâm hệ tọa chừng và điểm (x,y) bên trên vòng tròn trặn và chiều dương của trục x của hệ tọa chừng x-y, các hàm lượng giác hoàn toàn có thể được khái niệm là:

Hàm Định nghĩa
sin(θ) y
cos(θ) x
tan(θ) y/x
cot(θ) x/y
sec(θ) 1/x
csc(θ) 1/y

Khi những góc cù bên trên vòng tròn trặn, hàm sin, cos, sec và csc trở thành hàm tuần trả với chu kỳ luân hồi 2π radian hoặc 360 độ:

Ở trên đây θ là góc, một số trong những thực bất kỳ; k là một số trong những nguyên vẹn ngẫu nhiên.

Tan và Cot tuần trả với chu kỳ luân hồi π radian hoặc 180 chừng.

Dùng hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi nồng độ giác đều hoàn toàn có thể được dựng lên vì chưng cách thức hình học tập bên trên một vòng tròn trặn đơn vị chức năng với tâm ở O.

Hình vẽ mặt mày đã cho chúng ta biết khái niệm vì chưng hình học tập về các hàm lượng giác mang lại góc ngẫu nhiên bên trên vòng tròn trặn đơn vị chức năng tâm O. Với θ là nửa cung AB:

Hàm Định nghĩa Chú thích
sin(θ) AC định nghĩa lần thứ nhất trình làng vô lịch sử dân tộc vì chưng người chặn Độ
cos(θ) OC
tan(θ) AE đường tiếp tuyến với đàng tròn trặn bên trên A, ý nghĩa sâu sắc này đang được đưa đến mang lại cái thương hiệu "tan" của hàm, khởi nguồn từ giờ đồng hồ La tinh anh là "tiếp tuyến"
cot(θ) AF
sec(θ) OE đường hạn chế vòng tròn trặn, ý nghĩa sâu sắc này đang được đưa đến mang lại cái thương hiệu "secant" của hàm, khởi nguồn từ giờ đồng hồ La tinh anh là "đường hạn chế vòng tròn"
csc(θ) OF
versin(θ) CD versin(θ) = 1 − cos(θ)
exsec(θ) DE exsec(θ) = sec(θ) − 1

Theo hình vẽ, thường thấy sec và tang tiếp tục phân kỳ Khi θ tiến thủ cho tới π/2 (90 độ), csc và cot phân kỳ Khi θ tiến thủ cho tới 0. đa phần cơ hội kiến tạo tương tự động hoàn toàn có thể được triển khai bên trên vòng tròn trặn đơn vị chức năng, và những đặc điểm của các hàm lượng giác hoàn toàn có thể được minh chứng vì chưng hình học tập.

Định nghĩa vì chưng chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm sin (xanh lam) được xấp xỉ vì chưng chuỗi Taylor bậc 7 (màu hồng).

Dùng hình học tập và những đặc điểm của số lượng giới hạn hàm số, hoàn toàn có thể minh chứng rằng đạo hàm của hàm sin là hàm cos và đạo hàm của hàm cos là ngược vết của hàm sin. cũng có thể sử dụng chuỗi Taylor nhằm phân tách hàm sin và cos rời khỏi chuỗi, mang lại từng góc x đo vì chưng độ quý hiếm radian thực. Từ nhì hàm này hoàn toàn có thể suy rời khỏi chuỗi của những nồng độ dạng sót lại.

Các đẳng thức tiếp sau đây cho thấy chuỗi Taylor của các hàm lượng giác. Chúng hoàn toàn có thể dùng để khái niệm mang lại nồng độ giác. Chúng được sử dụng trong không ít phần mềm, như chuỗi Fourier), vì thế lý thuyết của chuỗi vô hạn hoàn toàn có thể được kiến tạo kể từ nền tảng khối hệ thống số thực, song lập với hình học tập. Các đặc điểm như khả vi hoặc liên tiếp hoàn toàn có thể được minh chứng chỉ còn khái niệm vì chưng chuỗi.

Trong bảng bên dưới, quy ước:

En là số Euler loại n
Un là số lên/xuống loại n
Hàm Định nghĩa Cụ thể
sin(x)
cos(x)
tan(x)
cot(x)
sec(x)
csc(x)

Trên ngôi trường số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Từ khái niệm vì chưng gì tê liệt hoàn toàn có thể minh chứng rằng những hàm sin và cos là phần ảo và phần thực của hàm nón của số ảo:

Với i là đơn vị chức năng ảo, căn bậc nhì của -1.

Liên hệ này được trị hiện tại lần thứ nhất vì chưng Euler và công thức này đang được gọi là công thức Euler. Trong giải tích phức, nếu như vẽ vòng tròn trặn đơn vị chức năng bên trên mặt mày bằng phẳng phức, bao gồm những điểm z = eix, những côn trùng tương tác thân thuộc số phức và lượng giác trở thành rõ nét. Ví dụ như các quy trình mô tả vì chưng hàm nón phức với đặc điểm tuần trả.

Công thức bên trên cũng được cho phép không ngừng mở rộng nồng độ giác rời khỏi mang lại biến đổi phức z:

Trong tình huống đặc trưng, z = x, một số trong những thực

Định nghĩa vì chưng phương trình vi phân[sửa | sửa mã nguồn]

Cả nhì hàm sin và cos vừa lòng phương trình vi phân

Các hàm này là những hàm ngược vết của vi phân bậc nhì của bọn chúng.

Trong không khí vectơ hai phía V chứa chấp toàn bộ những nghiệm của phương trình vi phân bên trên, sin là hàm độc nhất vừa lòng ĐK biên y(0) = 0 và y′(0) = 1, còn cos là hàm độc nhất vừa lòng ĐK biên y(0) = 1 và y′(0) = 0. Hai hàm đó lại song lập tuyến tính vô V, bọn chúng tạo nên trở nên hệ hạ tầng mang lại V.

Thực tế cơ hội khái niệm này tương tự với việc sử dụng công thức Euler. Phương trình vi phân không những hoàn toàn có thể được dùng làm khái niệm sin và cos mà còn phải hoàn toàn có thể được dùng làm minh chứng những đẳng thức lượng giác cho những hàm này.

Xem thêm: kim ji in

Hàm tan là nghiệm độc nhất của phương trình vi phân phi tuyến sau:

với ĐK biên y(0) = 0. Xem [1] Lưu trữ 2004-06-02 bên trên Wayback Machine cho 1 minh chứng của công thức này.

Các phương trình bên trên chỉ đúng vào lúc biến đổi số vô các hàm lượng giác là radian. Nếu sử dụng đơn vị chức năng đo góc không giống, biến đổi số thay cho thay đổi vì chưng qua quýt một nhân tử k. Ví dụ, nếu như x được xem vì chưng chừng, k tiếp tục là:

Lúc đó:

và vi phân của hàm sin bị thay cho thay đổi nằm trong nhân tử này:

.

Nghĩa là hàm sẽ rất cần thỏa mãn:

Ví dụ bên trên mang lại hàm sin, điều tương tự động cũng xẩy ra mang lại nồng độ giác không giống.

Các khái niệm khác[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm sin và cos, và các hàm lượng giác không giống suy rời khỏi kể từ nhì hàm này, hoàn toàn có thể được khái niệm là hàm sin và cos vô quyết định lý sau:

Tồn bên trên độc nhất cặp hàm sin và cos bên trên ngôi trường số thực thỏa mãn:

  1. sin2(x) + cos2(x) = 1
  2. sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
  3. cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
  4. 0 < xcos(x) < sin(x) < x với từng 0 < x < 1

Ở trên đây .

Miền xác lập và miền giá bán trị[sửa | sửa mã nguồn]

Các hàm con số giác bên trên ngôi trường số thực với miền xác lập và miền độ quý hiếm được tổng kết vô bảng sau:

Hàm Miền xác định Miền giá bán trị
sin R (toàn cỗ trục số thực) [-1, 1]
cos R [-1, 1]
tang R/{π/2 + kπ|k nguyên} (các số thực không giống π/2 + kπ, với k là những số nguyên) R
cotang R/{kπ|k nguyên} (các số thực không giống kπ, với k là những số nguyên) R

Phương pháp tính[sửa | sửa mã nguồn]

Việc tính độ quý hiếm số mang lại các hàm lượng giác là câu hỏi phức tạp. Ngày ni, hầu hết người xem hoàn toàn có thể sử dụng PC hoặc PC tiếp thu khoa học tập nhằm tính độ quý hiếm những hàm này. Dưới trên đây trình diễn việc sử dụng bảng tính vô lịch sử dân tộc nhằm tra độ quý hiếm các hàm lượng giác, chuyên môn tính ngày này vô PC, và một số trong những độ quý hiếm đúng đắn dễ dàng ghi nhớ.

Trước không còn, việc tính độ quý hiếm các hàm lượng giác chỉ việc triệu tập vô những góc ở, ví dụ, kể từ 0 cho tới π/2, vì thế độ quý hiếm của các hàm lượng giác ở những góc không giống đều hoàn toàn có thể được suy rời khỏi vì chưng đặc điểm tuần trả và đối xứng của những hàm.

Trước Khi với PC, người tớ thông thường dò thám độ quý hiếm nồng độ giác bằng phương pháp nội suy từ 1 bảng tính sẵn, có tính đúng đắn cho tới nhiều chữ số thập phân. Các bảng tính này thông thường được kiến tạo bằng phương pháp dùng những công thức lượng giác, như công thức phân chia song góc, hoặc công thức nằm trong góc, chính thức từ 1 vài ba độ quý hiếm đúng đắn (như sin(π/2)=1).

Các PC văn minh sử dụng nhiều chuyên môn không giống nhau (Kantabutra, 1996). Một cách thức phổ cập, đặc trưng cho những PC với những cỗ tính số thập phân, là phối hợp xấp xỉ nhiều thức (ví dụ chuỗi Taylor hữu hạn hoặc hàm hữu tỉ) với những bảng tính sẵn — trước tiên, PC tìm tới độ quý hiếm tính sẵn vô bảng nhỏ mang lại góc ở sát góc cần thiết tính nhất, rồi sử dụng nhiều thức nhằm sửa độ quý hiếm vô bảng về độ quý hiếm đúng đắn rộng lớn. Trên những Hartware không tồn tại cỗ số học tập và lô gíc, hoàn toàn có thể sử dụng thuật toán CORDIC (hoặc những chuyên môn tương tự) nhằm tính hiệu suất cao rộng lớn, vì thế thuật toán này chỉ sử dụng toán tử fake vị và phép tắc nằm trong. Các cách thức này đều thông thường được thi công sẵn trong những Hartware PC nhằm tăng vận tốc xử lý.

Đối với những góc đặc trưng, độ quý hiếm các hàm lượng giác hoàn toàn có thể được xem vì chưng giấy tờ và cây viết nhờ vào quyết định lý Pytago. Ví dụ như sin, cos và tang của những góc là bội của π/60 radian (3 độ) hoàn toàn có thể tính được đúng đắn vì chưng giấy tờ cây viết.

Một ví dụ giản dị và đơn giản là tam giác vuông cân nặng với những góc nhọn vì chưng π/4 radian (45 độ). Cạnh kề b vì chưng cạnh đối a và hoàn toàn có thể bịa a = b = 1. Sin, cos và tang của π/4 radian (45 độ) hoàn toàn có thể tính vì chưng quyết định lý Pytago như sau:

Nên:

Một ví dụ không giống là dò thám độ quý hiếm nồng độ giác của π/3 radian (60 độ) và π/6 radian (30 độ), hoàn toàn có thể chính thức với tam giác đều phải sở hữu những cạnh vì chưng 1. Cả tía góc của tam giác vì chưng π/3 radian (60 độ). Chia song tam giác này trở nên nhì tam giác vuông với góc nhọn π/6 radian (30 độ) và π/3 radian (60 độ). Mỗi tam giác vuông với cạnh nhanh nhất là một nửa, cạnh huyền vì chưng 1 và cạnh sót lại vì chưng (√3)/2. Như vậy:

Hàm lượng giác ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Các nồng độ giác tuần trả, vậy nên nhằm dò thám hàm ngược, cần thiết số lượng giới hạn miền của hàm. Dươi đấy là khái niệm các hàm lượng giác ngược:

Giới hạn miền Định nghĩa
-π/2 ≤ y ≤ π/2 y = arcsin(x) Khi và chỉ Khi x = sin(y)
0 ≤ y ≤ π y = arccos(x) Khi và chỉ Khi x = cos(y)
-π/2 < y < π/2 y = arctan(x) Khi và chỉ Khi x = tan(y)
0 < hắn < π y = arccot(x) Khi và chỉ Khi x = cot(y)
0 < y < π và y ≠ π/2 y = arcsec(x) Khi và chỉ Khi x = sec(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0 y = arccsc(x) Khi và chỉ Khi x = csc(y)

Các hàm ngược được ký hiệu là arcsin và arccos

Các nồng độ giác ngược cũng hoàn toàn có thể được khái niệm vì chưng chuỗi vô hạn:

Chúng cũng hoàn toàn có thể được khái niệm trải qua những biểu thức sau, nhờ vào đặc điểm bọn chúng là đạo hàm của những hàm không giống.

Công thức bên trên được cho phép không ngừng mở rộng nồng độ giác ngược rời khỏi cho những biến đổi phức:

Một số đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm thắt Đẳng thức lượng giác
Xem thêm thắt Danh sách tích phân với nồng độ giác, Danh sách tích phân với nồng độ giác ngược

Tính hóa học và ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Định luật sin và quyết định luật cos hoàn toàn có thể được minh chứng bằng sự việc phân chia song tam giác trở nên nhì tam giác vuông.

Các nồng độ giác toạ lạc cần thiết vô lượng giác học tập. Cạnh ngoài lượng giác học tập, tính tuần trả của bọn chúng hữu ích mang lại việc tế bào phỏng những hoạt động sóng như sóng năng lượng điện kể từ hoặc tiếng động. Mọi tín hiệu đều hoàn toàn có thể được phân tách trở nên tổng (vô hạn) của những hàm sin và cos ứng với khá nhiều tần số; đấy là ý tưởng phát minh chủ yếu của phân tách Fourier, dùng làm xử lý những câu hỏi ĐK biên và phương trình đạo hàm riêng biệt.

Các đặc điểm cần thiết nhất của các hàm lượng giác vô lượng giác học tập được thể hiện tại ở tía quyết định lý:

Định lý sin[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý sin tuyên bố mang lại ngẫu nhiên một tam giác nào:

Có thể minh chứng quyết định lý này bằng phương pháp phân chia song tam giác trở nên nhì tam giác vuông, rồi sử dụng khái niệm của hàm sin. (sinA)/a là nghịch tặc hòn đảo của 2 lần bán kính đàng tròn trặn trải qua tía điểm A, B và C. Định lý sin hoàn toàn có thể dùng làm tính chừng nhiều năm của một cạnh Khi đang được biết chừng nhiều năm nhì cạnh sót lại của tam giác. Đây là câu hỏi hoặc gặp gỡ vô kỹ thuật tam giác, một chuyên môn dùng làm đo khoảng cách nhờ vào việc đo những góc và những khoảng cách dễ dàng đo không giống.

Định lý cos[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý cos là một trong sản phẩm không ngừng mở rộng của quyết định lý Pytago:

Định lý này cũng hoàn toàn có thể được minh chứng bằng sự việc phân chia tam giác trở nên nhì tam giác vuông. Định lý này hoàn toàn có thể được dùng làm dò thám những tài liệu chưa chắc chắn về một tam giác nếu như đang được biết kích cỡ nhì cạnh và một góc.

Nếu góc vô biểu thức ko được quy ước rõ nét, ví dụ nhỏ rộng lớn 90°, thì sẽ có được nhì tam giác vừa lòng quyết định lý cos, ứng với nhì góc C ở trong vòng kể từ 0 cho tới 180°Cùng cho 1 độ quý hiếm cos C

Xem thêm: the good doctor season 2

Định lý tan[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý tan tuyên bố là:

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

(bằng giờ đồng hồ Anh)

  • Carl B. Boyer, A History of Mathematics, 2nd ed. (Wiley, Thành Phố New York, 1991).
  • Eli Maor, Trigonometric Delights Lưu trữ 2006-04-14 bên trên Wayback Machine (Princeton Univ. Press, 1998).
  • "Trigonometric functions Lưu trữ 2013-01-20 bên trên Wayback Machine", MacTutor History of Mathematics Archive.
  • Tristan Needham, Visual Complex Analysis, (Oxford University Press, 2000), ISBN 0198534469 Book trang web Lưu trữ 2004-08-03 bên trên Wayback Machine
  • Vitit Kantabutra, "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," IEEE Trans. Computers 45 (3), 328-339 (1996).

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Hàm hypebolic
  • Định lý Pytago
  • Đẳng thức lượng giác

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

(bằng giờ đồng hồ Anh)

  • Khóa học tập lượng giác của Dave Lưu trữ 2005-02-04 bên trên Wayback Machine sử dụng những phần mềm Java nhằm tế bào miêu tả những đặc điểm của nồng độ giác.
  • Vẽ vật thị hàm số trọn vẹn vì chưng Javascript. Chạy bên trên đa số những trình duyệt văn minh.
  • Công thức tính tương quan cho tới cos Lưu trữ 2007-09-29 bên trên Wayback Machine.