Nguyên hàm là 1 trong mỗi đề chính cần thiết của Giải tích Toán 12 và thông thường xuất hiện nay nhiều trong số kì thi đua ĐH. Vậy sở hữu những công thức vẹn toàn hàm cần thiết nào là cần thiết nhớ? Team Marathon Education sẽ hỗ trợ những em trả lời và tìm hiểu làm rõ rộng lớn về bảng công thức vẹn toàn hàm kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên và cách thức giải bài xích tập luyện vẹn toàn hàm thông dụng qua chuyện nội dung bài viết sau đây.
>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Hướng Dẫn Giải Bài Tập
Bạn đang xem: cong thuc nguyen ham
Nguyên hàm là gì?
Trước Lúc, chuồn thâm thúy nhập tìm hiểu hiểu công thức về vẹn toàn hàm, những em cần thiết nắm rõ định nghĩa vẹn toàn hàm cũng tựa như những đặc điểm và ấn định lý tương quan.
Định nghĩa vẹn toàn hàm
Cho hàm số f(x) xác lập bên trên K, thời điểm hiện nay hàm số F(x) được gọi là vẹn toàn hàm của hàm số f(x) bên trên K nếu như F’(x) = f(x) (với từng x ∊ K, K hoàn toàn có thể là khoảng chừng, đoạn hoặc nửa đoạn bên trên ℝ).
Kí hiệu vẹn toàn hàm của hàm số f(x) là:
\int f(x)dx=F(x)+C \ \ \ (\forall \ C\in\R)
Định lý vẹn toàn hàm
3 ấn định lý của vẹn toàn hàm là:
- Định lý 1: Giả sử F(x) là 1 vẹn toàn hàm của f(x) bên trên K. Khi cơ, với từng hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 vẹn toàn hàm của f(x).
- Định lý 2: Trên K, nếu như F(x) là 1 vẹn toàn hàm của hàm số f(x) thì từng vẹn toàn hàm của f(x) bên trên K đều phải có dạng F(x) + C, với C là 1 hằng số tùy ý.
- Định lý 3: Trên K, toàn bộ hàm số f(x) liên tiếp đều phải có vẹn toàn hàm.
Tính hóa học vẹn toàn hàm
3 đặc điểm cơ bạn dạng của vẹn toàn hàm được thể hiện nay như sau:
\begin{aligned}
&\footnotesize\bull\text{Nếu f(x) là hàm số sở hữu vẹn toàn hàm thi: }(\smallint f(x)dx)'=f(x)\ \text{và }\\
&\footnotesize\smallint f'(x)dx=f(x) +C.\\
&\footnotesize\bull\text{Nếu F(x) sở hữu đạo hàm thì }\smallint d(F(x))=F(x)+C.\\
&\footnotesize\bull\text{Tích của vẹn toàn hàm với k là hằng số không giống 0: }\smallint kf(x)dx=k\smallint f(x)dx.\\
&\footnotesize\bull\text{Tổng, hiệu của vẹn toàn hàm: }\smallint [f(x)\pm g(x)]=\smallint f(x)dx\pm \smallint g(x)dx
\end{aligned}
Bảng công thức vẹn toàn hàm cơ bạn dạng, không ngừng mở rộng và nâng cao
Mỗi dạng vẹn toàn hàm đều phải có những công thức riêng biệt. Những công thức này và đã được tổ hợp trở thành những bảng sau đây nhằm những em đơn giản dễ dàng phân loại, ghi ghi nhớ và vận dụng đúng chuẩn.
Bảng công thức vẹn toàn hàm cơ bản
Bảng công thức vẹn toàn hàm banh rộng
Bảng công thức vẹn toàn hàm nâng cao
Bảng vẹn toàn hàm hàm con số giác
2 cách thức giải bài xích tập luyện vẹn toàn hàm phổ biến
Phương pháp thay đổi vươn lên là số
Đây là cách thức được dùng thật nhiều Lúc hương nguyên hàm. Vì vậy, những em rất cần được nắm rõ cách thức này nhằm giải những câu hỏi vẹn toàn hàm thời gian nhanh và đúng chuẩn rộng lớn.
Phương pháp thay đổi vươn lên là loại 1:
Cho hàm số u = u(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên K, nó = f(u) liên tiếp nhằm f[u(x)] xác lập bên trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:
∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C
Cách giải:
Đầu tiên, lựa chọn t = φ(x) và tính vi phân nhì vế: dt = φ'(t)dt.
Sau cơ, biến hóa biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp thay đổi vươn lên là loại 2: Khi đề bài xích mang đến hàm số f(x) liên tiếp bên trên K và x = φ(t) là 1 hàm số xác lập, liên tiếp bên trên K và sở hữu đạo hàm là φ'(t). Lúc này:
∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt
Cách giải:
Đầu tiên, lựa chọn x = φ(t) và lấy vi phân nhì vế: dx = φ'(t)dt.
Thực hiện nay vươn lên là đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp vẹn toàn hàm từng phần
Phương pháp chung
Định lý: Nếu nhì hàm số u(x) và v(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên K thì:
\small \smallint u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\smallint v(x)u'(x)dx\ \text{hay} \ \smallint udv=uv-\smallint vdu\\ (\text{với }du=u'(x)dx, \ dv=v'(x)dx)
Cách giải:
Trước không còn, những em cần thiết biến hóa tích phân thứ nhất về dạng:
I=\int f(x)dx=\int f_1(x)f_2(x)dx
Tiếp theo gót, đặt:
\begin{cases}u=f_1(x)\\dv=f_2(x)\end{cases}
\implies \begin{cases}du=f'_1(x)dx\\v=\int f_2(x)dx\end{cases}
Lúc này thì những em tiếp tục có:
\smallint udv=uv-\smallint vdu
Tùy nằm trong vào cụ thể từng dạng toán rõ ràng nhưng mà những em vận dụng cách thức sao mang đến tương thích.
Các dạng vẹn toàn hàm từng phần thông thường gặp
Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
>>> Xem thêm: Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần Và Công Thức Tính Chi Tiết Nhất
Bài tập luyện về công thức vẹn toàn hàm
Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
a. Hãy nêu khái niệm vẹn toàn hàm của hàm số mang đến trước f(x) bên trên một khoảng chừng.
b. Phương pháp tính vẹn toàn hàm từng phần là gì? Đưa rời khỏi ví dụ minh họa mang đến phương pháp tính tiếp tục nêu.
Hướng dẫn giải bài xích tập:
a. Xét hàm số nó = f(x) xác lập bên trên tập luyện xác lập D.
Hàm số Y = F(x) được gọi là vẹn toàn hàm của hàm số nó = f(x) bên trên D Lúc Y = F(x) thỏa mãn nhu cầu ĐK F'(x) = f(x) ∀ x ∈ D.
Xem thêm: one piece tap 1044
b.
Phương pháp tính vẹn toàn hàm từng phần được khái niệm như sau:
Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên D, Lúc cơ tớ sở hữu công thức:
∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u’(x)dx hoặc ∫udv = uv – ∫vdv
Ví dụ minh họa: Tính vẹn toàn hàm của hàm số A = ∫xexdx
Lời giải:
\begin{aligned}
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u=x
\\
dv=e^xdx
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
du=dx
\\
v=e^x
\end{cases}
\\
& \small \text{Khi cơ, } A = \smallint xe^xdx = xe^x - \smallint e^xdx = xe^x - e^x + C
\end{aligned}
Bài 2 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
a. Nêu khái niệm tích phân hàm số f(x) bên trên đoạn [a;b]
b. Tính hóa học của tích phân là gì? Nêu ví dụ rõ ràng.
Hướng dẫn giải bài xích tập:
a. Xét hàm số nó = f(x) liên tiếp bên trên [a; b], gọi F(x) là vẹn toàn hàm của f(x) bên trên [a;b]
Khi cơ, tích phân cần thiết tìm hiểu là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:
I = \intop_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
b. Tính hóa học của tích phân:
\begin{aligned}
&\intop^a_bf(x)dx=0\\
&\intop^b_af(x)dx=-\intop^a_bf(x)dx\\
&\intop^b_akf(x)dx=k\intop^b_af(x)dx\\
&\intop^b_a{[f(x)\pm g(x)]}dx = \intop^b_a{f(x)dx}\pm \intop^b_a{g(x)dx}\\
&\intop^b_af(x)dx=\intop^c_af(x)dx+\intop^b_cf(x)dx
\end{aligned}
Bài 3 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
Tìm vẹn toàn hàm của những hàm số tiếp tục mang đến bên dưới đây:
\begin{aligned}
&a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\\
&b. f(x)=sin(4x).cos^2(2x)\\
&c. f(x)=\frac{1}{1-x^2}\\
&d. f(x)=(e^x-1)^3
\end{aligned}
Hướng dẫn giải bài xích tập:
a. Ta có:
(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1
Suy ra
\begin{aligned}
\small\int(x-1)(1-2x)(1-3x)dx&\small=\int(6x^3-11x^2+6x-1)dx\\
&\small =\frac{3}{2}x^4-\frac{11}{3}x^3+3x^2-x+C
\end{aligned}
b. Ta có:
\begin{aligned}
\small sin(4x).cos^2(2x)&=\frac{1}{2}sin4x.cos4x+\frac{1}{2}sin4x\\&=\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x
\end{aligned}
Suy ra:
\small \int(\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x)dx=-\frac{cos8x}{32}-\frac{cos4x}{8}+C
c. Ta có:
\begin{aligned}
\small f(x)&=\small \frac{1}{1-x^2}\\
&=\small \frac{1}{(1-x)(1+x)}\\
&=\small \frac{1}{2}.\frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)}\\
&=\small \frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x}
\end{aligned}
Suy ra:
\begin{aligned}
\int f(x)dx&=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \\
&=\frac{1}{2}(ln|1+x|+ln|1-x|)+C\\
&=\frac{1}{2}ln\big|(1+x)(1-x)\big|+C\
\end{aligned}
d. Với bài xích tập luyện này, những em hoàn toàn có thể tuân theo cơ hội giải thường thì là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi vận dụng tính vẹn toàn hàm mang đến từng hàm nhỏ. Hoặc những em còn hoàn toàn có thể dùng cơ hội đặt điều ẩn phụ nhằm giải tìm hiểu vẹn toàn hàm như sau:
Đặt\ t=e^x \implies dt=e^x.dx=t.dx \implies \frac{dt}{t}=dx
Ta có:
\begin{aligned}
\int f(x)dx&=\int(e^x-1)^3dx\\
&=\int \frac{(t-1)^3}{t}dt\\
&=\int \left(t^2-3t+3-\frac{1}{t}\right)dt\\
&=\frac{1}{3}t^3-\frac{3}{2}t^2+3t-ln|t|+C\\
&=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-ln|e^x|+C\\
&=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-x+C'\\
&(Với\ C' = C-1)
\end{aligned}
Bài 4 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
Tính một vài vẹn toàn hàm sau:
\begin{aligned}
&a)\int(2-x).sinxdx\\
&b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\
&c) \int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\
&d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\
&e)\int\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\\
&f)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)dx}
\end{aligned}
Hướng dẫn giải bài xích tập:
\begin{aligned}
&\text{a) Đặt} \begin{cases}u=2-x\\dv=sinxdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=-dx\\v=-cosx\end{cases}\\
&\text{Theo công thức tính tích phân từng phần:}\\
&\int(2-x)sinxdx\\
&=(2-x)(-cosx)-\int cosxdx\\
&=(x-2)cosx-sinx +C\\
&b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(x^2+2x+1}{\sqrt{x}}dx\\
&=\int (x^\frac{3}{2}+2x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2})dx\\
&=\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}+2.\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+2.x^\frac{1}{2}+C\\
&=\sqrt{x}(\frac{2}{5}x^2+\frac{4}{3}x+2)+C\\
&c)\int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\
&=\int\frac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^x+1}\\
&=\int (e^{2x}-e^x+1)dx\\
&=\frac{1}{2}e^{2x}-e^x+x +C\\
&d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\
&=\int\frac{1}{[\sqrt{2}.cos(x-\frac{\pi}{4})]^2}dx\\
&=\int\frac{1}{2.cos^2(x-\frac{\pi}{4})}dx\\
&=\frac{1}{2}.tan(x-\frac{\pi}{4})+C\\
&e) \int\frac{1}{\sqrt{1+x} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})(\sqrt{x+1} +\sqrt{x})}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})dx\\
&=\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} +C\\
&=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\\
&g)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\\
&=\int\frac{1+x+2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\
&=\int\frac{1+x}{3(1+x)(2-x)}dx+\int\frac{2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\
&=\frac{1}{3}\int\frac{1}{2-x}dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+x}dx\\
&=-\frac{1}{3}ln|2-x|+\frac{1}{3}ln|1+x|+C\\
&=\frac{1}{3}ln\big |\frac{1+x}{2-x}\big|+C
\end{aligned}
Đề trung học phổ thông Chuyên KHTN Lần 4
Đề bài:
Cho những số vẹn toàn a và b thỏa mãn
\begin{aligned}
& \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx = a +\frac32 + lnb
\end{aligned}
Hãy tính tổng P.. = a + b
Hướng dẫn giải bài xích tập:
\begin{aligned}
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u=lnx
\\
dv=(2x+1)dx
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
du=\frac1xdx
\\
v=x^2 +x
\end{cases}
\\
& \small \text{Khi cơ, }
\\
& \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx
\\
& \small = (x^2 + x)lnx \left. \right|^2_1 - \intop_2^1 (x^2 + x).\frac1xdx
\\
& \small = 6ln2 - \intop_2^1 (x + 1)dx
\\
& \small = 6ln2 - \left.\left( \frac{x^2}{2} + x \right) \right|^2_1
\\
& \small = 6ln2 - (4 - \frac32)
\\
& \small = -4 + \frac32 + ln64
\\
& \small \text{Vậy a = -4 và b = 64. Lúc cơ. P.. = a + b = 60.}
\end{aligned}
Đề thi đua test Sở Giáo Dục Bình Thuận
Đề bài:
Cho hàm số F(x) là vẹn toàn hàm của hàm số f(x). Khi biết F(3) = 3, hãy tính tích phân:
Hướng dẫn giải bài xích tập:
Đối với dạng bài xích nâng lên này, những em tiếp tục phối hợp 2 cách thức là tích phân hàm ẩn (đặt ẩn phụ) và tích phân từng phần.
Xem thêm: giải mã cơ thể tập 1
\begin{aligned}
& \small \text{Đặt n = x + 1, Lúc đó: }
\\
& \small K = \intop_0^3 xf(x)dx
\\
& \small = \intop_{-1}^2 F(x+1)d(x+1)
\\
& \small = \intop_3^0 F(n)dn
\\
& \small =1
\\
& \small \text{Kế tiếp, tớ đặt điều }
\begin{cases}
u=x
\\
dv=f(x)dx
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
du=dx
\\
v=F(x)
\end{cases}
\\
& \small \text{Lúc đó: }
\\
& \small K = \intop_0^1xf(x)dx = \left.xF(x)\right|_0^3 - \intop_0^3F(x)dx = 3F(3) - 1 = 8
\end{aligned}
Tham khảo tức thì những khoá học tập online của Marathon Education
Qua nội dung bài viết bên trên, Team Marathon Education tiếp tục share cho tới những em lý thuyết cơ bạn dạng về vẹn toàn hàm, bàng vẹn toàn hàm cơ bạn dạng và không ngừng mở rộng và những công thức vẹn toàn hàm cần thiết nắm rõ. Hy vọng nội dung bài viết sẽ hỗ trợ những em ghi nhỡ những công thức vẹn toàn hàm này một cơ hội hiệu suất cao và canh ty áp dụng bọn chúng nhằm giải bài xích tập luyện một cơ hội nhanh gọn lẹ.
Hãy tương tác tức thì với Marathon và để được tư vấn nếu như những em mong muốn học online nâng lên kỹ năng và kiến thức nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong số bài xích đánh giá và kỳ thi đua chuẩn bị tới!
Bình luận