công thức tính lãi gộp liên tục

Công thức lãi kép liên tiếp, công thức phát triển nón, lãi suất vay kép liên tiếp với số e

Trong bài bác công thức lãi kép, tất cả chúng ta đã hiểu cách thức tính số chi phí chiếm được sau đó 1 khoảng tầm thời hạn với lãi suất vay kép r. Bài ghi chép này tiếp tục tạo hình công thức lãi suất vay kép liên tục trong phòng toán học tập Jacob Bernoulli.

Bạn đang xem: công thức tính lãi gộp liên tục

Ví dụ mở màn về lãi kép liên tục

Để giản dị và đơn giản và dễ dàng nắm bắt, tớ xét ví dụ với những số nhỏ và "tròn trịa" sau đây:

Ta phanh một thông tin tài khoản $A=1$ (đơn vị chi phí tệ này ê, ví dụ: đô-la, đồng,...) ở ngân hàng với lãi suất vay $r=100\%$ từng năm ($r=1$). Nếu lãi suất vay được trả một lượt, thì sau một năm tổng số chi phí nhập thông tin tài khoản là
$$B=A+A.r=A(1+r)=2$$
Nhưng nếu như lãi suất vay được xem theo đuổi chu kì 6 mon (lúc này lãi suất vay $r'=r/2 \ \ \ $) thì số chi phí sẽ có được với nhỉnh rộng lớn một chút:
$$B=A(1+r')^2=2.25 $$
Lãi kép sản phẩm quý ($r'=r/4 \ \ \ $) tớ được $B=A(1+r')^4 = 2.4414$.
Lãi kép mỗi tháng ($r'=r/12 \ \ \ $) tớ được $B=A(1+r')^{12} = 2.613035$.
Ta nhận biết chu kì càng nhỏ thì số chi phí sẽ có được sau 1 năm càng tăng. Nhưng liệu càng phân chia nhỏ chu kì (tới tuần, ngày, giờ, phút, giây,...) thì số chi phí sẽ có được với tăng thêm vô hạn? Rất tiếc câu vấn đáp là KHÔNG!

Jacob Bernoulli nhằm ý thấy sản phẩm này tiến bộ cho tới một số lượng giới hạn với chu kì lãi kép càng ngày nhỏ dần dần. Lãi kép sản phẩm tuần tớ được $2.692597$, trong những lúc lãi kép từng ngày tớ được $2.714567$, chia sẻ thêm được một lượng ko đáng chú ý (khoảng $0.02$).

Xem thêm: phim14.net cô nàng mạnh mẽ

Gọi $n$ là số kì lãi kép, với lãi suất vay $r'=r/n \ \ \ $ trong những kì, thì số chi phí sẽ có được là:
$$B_n=(1+\frac{1}{n})^n$$
Cho $n$ tiến bộ cho tới vô rất rất thì tớ được số chi phí nhập thông tin tài khoản là
$$B=\lim B_n = \lim (1+\frac{1}{n})^n =e$$
Như đang được biết, sản phẩm này còn có số lượng giới hạn là $e$ (xem nhập bài: Số e là gì?); tức độ quý hiếm thông tin tài khoản tiếp tục tiến bộ cho tới $e$ (giá trị sấp xỉ của $e$ là $2.71828182846$).

Xem thêm: huyen thoai ly tieu log tap 15


Tính lãi kép liên tiếp là làm công việc mang đến kì tính lãi kép rất rất nhỏ. Gọi $n$ là số kì lãi kép (ví dụ nếu như tính lãi theo đuổi ngày thì $n=365$, tính theo đuổi giờ thì $n=365*24=8760$) thì "chu kì rất rất nhỏ" rất có thể coi đạt được bằng phương pháp lấy số lượng giới hạn Lúc $n$ cho tới vô rất rất.
Từ ví dụ mở màn phía trên, tớ rất có thể tổng quát tháo lên: Một thông tin tài khoản tuy nhiên chính thức vì chưng $A$ (đơn vị chi phí tệ), lãi suất vay $r$, thì với phương pháp tính lãi kép liên tiếp thì sau $t$ năm tiếp tục sẽ có được số chi phí là
$$B=A.e^{rt}$$
Đó đó là công thức lãi kép liên tục.

Ví dụ: Ta gửi ngân hàng $500$ triệu đồng với lãi suất vay từng năm $r=10\%$, lãi được xem là lãi kép liên tiếp, thì sau $3$ năm tớ sẽ có được tổng số chi phí là
$$B=500.e^{0.1*3}=674.929403788$$
tức tớ tiếp tục sẽ có được khoảng tầm $675$ triệu đồng sau $3$ năm gửi $500$ triệu nhập ngân hàng, với cách tính lãi kép liên tục.

Lưu ý: Tại lịch trình toán lớp 12 và thực tiễn ở những ngân hàng lúc bấy giờ thì lãi kép được xem theo đuổi kì hữu hạn, nên nên người sử dụng công thức lãi kép.