công thức tính thể tích chóp cụt

Bài ghi chép này Vted trình diễn và ra mắt cho tới độc giả Công thức tính thể tích của một khối chóp cụt và một trong những ví dụ minh hoạ. Công thức này được cho phép tính thể tích một trong những khối nhiều diện cường độ áp dụng, áp dụng cao.

Hình chóp cụt

Bạn đang xem: công thức tính thể tích chóp cụt

Cho hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}.$ Một mặt mũi phẳng phiu ko trải qua $S$ và tuy nhiên song với mặt mũi phẳng phiu lòng, hạn chế những cạnh $S{{A}_{1}},S{{A}_{2}},...,S{{A}_{n}}$ ứng bên trên ${{B}_{1}},{{B}_{2}},...,{{B}_{n}}.$

+ Hình bao gồm những nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}},{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}$ và những hình thang ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{2}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{B}_{3}}{{B}_{2}},...,{{A}_{n}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{B}_{n}}$ được gọi là một trong hình chóp cụt, kí hiệu là ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}.$

Một cơ hội đơn giản và giản dị, hình chóp cụt được tạo nên trở thành kể từ hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ sau khoản thời gian hạn chế cút hình chóp $S.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}.$

+ Các nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}},{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}$ được gọi là nhị mặt mũi lòng, những hình thang ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{2}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{B}_{3}}{{B}_{2}},...,{{A}_{n}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{B}_{n}}$ được gọi là những mặt mũi mặt mũi. Các đoạn trực tiếp ${{A}_{1}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{B}_{2}},...,{{A}_{n}}{{B}_{n}}$ được gọi là những cạnh mặt mũi, những cạnh của mặt mũi lòng được gọi là những cạnh lòng.

+ Khoảng cơ hội đằm thắm nhị mặt mũi lòng được gọi là độ cao của hình chóp cụt.

Hình chóp cụt đều

Hình chóp cụt đều là hình chóp cụt sở hữu nhị lòng là những nhiều giác đều và phỏng lâu năm những cạnh mặt mũi đều nhau.

Thể tích của khối chóp cụt

Khi hạn chế khối chóp vì chưng một phía phẳng phiu tuy nhiên song với lòng thì mặt mũi phẳng phiu cơ phân chia khối chóp đang được mang đến trở thành nhị khối nhiều diện, khối bên trên là khối chóp và khối bên dưới được gọi là khối chóp cụt.

Thể tích của khối chóp cụt sở hữu diện tích S nhị lòng thứu tự là ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ và độ cao vì chưng $h$ (khoảng cơ hội đằm thắm nhị đáy) là \[V=\dfrac{h({{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}})}{3}.\]

Xem thêm Công thức tính thể tích, diện tích S xung xung quanh, diện tích S toàn phần của khối nón cụt

Video bài xích giảng: Thể tích khối chóp cụt và ứng dụng

>>Xem thêm Công thức tổng quát lác tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và những tình huống quánh biệt

Combo X Luyện ganh đua 2024 Môn Toán (THPT, ĐG năng lượng, ĐG tư duy) (2K6)

Link đăng ký: https://bit.ly/3Xd5EA5

PRO X: Luyện ganh đua trung học phổ thông 2024 Môn Toán (Luyện từng dạng bài xích kể từ cơ bạn dạng cho tới 9 điểm)

XMAX: Luyện từng dạng bài xích áp dụng cao Môn Toán 2024 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và kỹ năng và chữa trị đề Dự kiến 2024 Môn Toán (100 ngày)

XPLUS: Luyện giải đề ganh đua trung học phổ thông 2024 Môn Toán

Các khoá học tập được dùng Tính từ lúc ngày đăng kí cho tới khi kì ganh đua trung học phổ thông 2024 kết cổ động.

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ sở hữu toàn bộ những cạnh vì chưng $a.$ Gọi $M,\text{ }N$ thứu tự là trung điểm của cạnh $AB$ và ${B}'{C}'.$ Mặt phẳng phiu $\left( {A}'MN \right)$ hạn chế cạnh $BC$ bên trên $P.$ Tính thể tích $V$ của khối nhiều diện $MBP.{A}'{B}'N.$

Giải. Gọi $S$ là uỷ thác điểm của ${A}'M$ và $B{B}'$, khi cơ $P$ là uỷ thác điểm $SN$ và $BC.$Ta sở hữu $\dfrac{MP}{{A}'N}=\dfrac{BP}{{B}'N}=\dfrac{BM}{{A}'{B}'}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \Delta MBP$ đồng dạng với $\Delta {A}'{B}'N$ theo dõi tỷ số vì chưng $\dfrac{1}{2}.$

Khối nhiều diện $MBP.{A}'{B}'N$ là khối chóp cụt sở hữu độ cao $h=B{B}'=a$ và diện tích S hoặc lòng là ${{S}_{1}}={{S}_{{A}'{B}'N}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8},{{S}_{2}}={{S}_{MBP}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{{A}'{B}'N}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}.$

Vậy ${{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{a}{3}\left( \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}+\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}+\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}} \right)=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{96}.$

Chọn đáp án B.

Các em xem xét lại Bài giảng Thể tích khối chóp cụt và phần mềm khoá PRO X.

Cách 2: Ta sở hữu $\dfrac{{{V}_{SMBP}}}{{{V}_{S{A}'{B}'N}}}=\dfrac{SM}{S{A}'}.\dfrac{SB}{S{B}'}.\dfrac{SP}{SN}={{\left( \dfrac{SB}{S{B}'} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{8}$$\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{S{A}'{B}'N}}.$

Ta sở hữu ${{V}_{S{A}'{B}'N}}=\dfrac{1}{3}S{B}'.{{S}_{\Delta {A}'{B}'N}}$$=\dfrac{1}{3}S{B}'.\dfrac{1}{2}{A}'{B}'.{B}'N\sin 60{}^\circ $$=\dfrac{1}{6}2a.a.\dfrac{a}{2}\sin 60{}^\circ $$=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.

$\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{S{A}'{B}'N}}=\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}$.

Chọn đáp án B.

Các em xem xét lại Bài giảng Tỷ số Thể tích khoá PRO X.

Xem thêm: xem phim cô gái từ quá khứ

Ví dụ 2: Cho một thau nước hình chóp cụt đều (hình vẽ) sở hữu độ cao vì chưng $3dm,$ lòng là lục giác đều, phỏng lâu năm cạnh lòng rộng lớn vì chưng $2dm$ và phỏng lâu năm cạnh lòng nhỏ vì chưng $1dm.$ Tính thể tích của chậu nước

Giải. Diện tích lòng của chậu vì chưng ${{S}_{1}}=6\left( \dfrac{{{2}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=6\sqrt{3},{{S}_{2}}=6\left( \dfrac{{{1}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.$

Chiều cao của chậu vì chưng $h=3.$

Thể tích của chậu vì chưng ${{V}_{0}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{3}{3}\left( 6\sqrt{3}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\sqrt{6\sqrt{3}\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} \right)=\dfrac{21\sqrt{3}}{2}d{{m}^{3}}.$ Chọn đáp án A.

Note: Diện tích lục giác đều vội vàng 6 chuyến diện tích S tam giác đều phải sở hữu nằm trong phỏng lâu năm cạnh.

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ sở hữu lòng là tam giác đều cạnh $a,A{A}'=2a.$ Gọi $M,N$ thứu tự là trung điểm những cạnh $A{A}',B{B}'$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$ Mặt phẳng phiu $(MNG)$ hạn chế $CA,CB$ thứu tự bên trên $E,F.$ Thể tích của khối nhiều diện sở hữu sáu đỉnh $A,B,M,N,E,F$ bằng

Giải. Do $MN//(ABC)\Rightarrow (MNG)\cap (ABC)=EF//AB.$ Gọi $P$ là trung điểm $C{C}'.$ Ta sở hữu $MNP.EFC$ là một trong chóp cụt.

$\begin{gathered} {V_{ABNMEF}} = {V_{ABC.MNP}} - {V_{MNP.EFC}} = \dfrac{1}{2}{V_{ABC.A'B'C'}} - \dfrac{{CP}}{3}\left( {{S_{MNP}} + {S_{EFC}} + \sqrt {{S_{MNP}}{S_{EFC}}} } \right) \\ = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}} \right)\left( {2a} \right) - \dfrac{a}{3}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4} + {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4} + \sqrt {\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}} } \right) = \dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{{27}}. \\ \end{gathered} $

Trong cơ ${{S}_{MNP}}={{S}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}};\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CF}{CB}=\dfrac{CG}{CI}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \Delta CEF\backsim \Delta CAB$ tỉ số $\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{S}_{CEF}}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}{{S}_{CAB}}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}.$

Hoặc \[{{S}_{CEF}}=\dfrac{1}{2}CE.CF.\sin \widehat{ECF}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{9}.\] Chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ rất có thể tích vì chưng $24$. Gọi $M\,,\ N$ và $P$ thứu tự là những điểm phía trên những cạnh ${A}'{B}'\,,\,\ {B}'{C}'$ và $BC$ sao mang đến $M$ là trung điểm của ${A}'{B}'$, ${B}'N=\dfrac{3}{4}{B}'{C}'$ và $BP=\dfrac{1}{4}BC.$ Đường trực tiếp $NP$ hạn chế đường thẳng liền mạch $B{B}'$ bên trên $E$ và đường thẳng liền mạch $EM$ hạn chế đường thẳng liền mạch $AB$ bên trên $Q.$ Thể tích của khối nhiều diện lồi $AQPC{A}'MN{C}'$ bằng

Giải. Đặt $S,h$ thứu tự là diện tích S lòng và độ cao của lăng trụ đang được mang đến tớ sở hữu $S.h=24$ và

${{V}_{AQPC{A}'MN{C}'}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-{{V}_{BPQ.{B}'NM}}.$ Trong số đó $BPQ.{B}'NM$ là chóp cụt sở hữu độ cao $h.$

Ta sở hữu $\dfrac{EB}{E{B}'}=\dfrac{EP}{EN}=\dfrac{EQ}{EM}=\dfrac{BP}{{B}'N}=\dfrac{BQ}{{B}'M}=\dfrac{PQ}{NM}=\dfrac{1}{3}.$ Do cơ nhị tam giác $\Delta BPQ\backsim \Delta {B}'NM$ theo dõi tỷ số $k=\dfrac{1}{3}.$

Suy đi ra ${{S}_{{B}'NM}}=\dfrac{{B}'N}{{B}'{C}'}\times \dfrac{{B}'M}{{B}'{A}'}S=\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}S=\dfrac{3}{8}S;{{S}_{BPQ}}={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}{{S}_{{B}'NM}}=\dfrac{1}{24}S.$

Vì vậy ${{V}_{BPQ.{B}'NM}}=\dfrac{h}{3}\left( \dfrac{3}{8}S+\dfrac{1}{24}S+\sqrt{\dfrac{3}{8}S\times \dfrac{1}{24}S} \right)=\dfrac{13}{72}S.h=\dfrac{13}{72}\times 24=\dfrac{13}{3}\Rightarrow {{V}_{AQPC{A}'MN{C}'}}=24-\dfrac{13}{3}=\dfrac{59}{3}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ sở hữu lòng $ABC$ là tam giác vuông cân nặng bên trên $C,AB=2a$ và góc tạo nên vì chưng nhị mặt mũi phẳng phiu $(AB{C}')$ và $(ABC)$ vì chưng $60{}^\circ .$ Gọi $M,N$ thứu tự là trung điểm của ${A}'{C}'$ và $BC.$ Mặt phẳng phiu $(AMN)$ phân chia khối lăng trụ đang được mang đến trở thành nhị khối nhiều diện. Khối nhiều diện rất có thể tích nhỏ rộng lớn bằng

Giải. Gọi $E$ là trung điểm $AB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB \bot CC'\\ AB \bot CE \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (CEC') \Rightarrow \widehat {C'EC} = \left( {(ABC'),(ABC)} \right) = {60^0} \Rightarrow CC' = CE\sqrt 3 = a\sqrt 3 .$

Vì $(ABC)//({A}'{B}'{C}')\Rightarrow (AMN)\cap ({A}'{B}'{C}')=MQ//AN.$

Khối nhiều diện $ANC.MQ{C}'$ rất có thể tích nhỏ rộng lớn và tà tà khối chóp cụt sở hữu ${{S}_{1}}={{S}_{ANC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}},{{S}_{2}}={{S}_{MQ{C}'}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ANC}}=\dfrac{1}{8}{{a}^{2}};h=C{C}'=\sqrt{3}a.$

Vì vậy ${{V}_{ANC.MQ{C}'}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}\left( \dfrac{1}{2}{{a}^{2}}+\dfrac{1}{8}{{a}^{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}\dfrac{1}{8}{{a}^{2}}} \right)=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}.$ Chọn đáp án A.
Xem thêm thắt Công thức tổng quát lác tính nửa đường kính mặt mũi cầu nước ngoài tiếp khối tứ diện và những tình huống quánh biệt

Câu chất vấn tự động luyện: Cho khối lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có tính lâu năm cạnh vì chưng $a.$ Mặt phẳng phiu chứa chấp đường thẳng liền mạch $C{D}'$ tạo nên với mặt mũi phẳng phiu $\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)$ góc $\alpha $ với $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ phân chia khối lập phương trở thành nhị khối nhiều diện rất có thể tích ${{V}_{1}},{{V}_{2}}\text{ }\left( {{V}_{1}}>{{V}_{2}} \right).$ Khi cơ ${{V}_{1}}$ bằng