đa thức nội suy lagrange

Bạn đang xem: đa thức nội suy lagrange

Hôm ni tất cả chúng ta tiếp tục nối tiếp học tập về công thức nội suy cho tới nhiều thức. Kỳ trước, tất cả chúng ta tiếp tục học tập về công thức nội suy Newton, thời điểm hôm nay tất cả chúng ta học tập thêm 1 công thức nội suy không giống gọi là công thức nội suy Lagrange.

Chúng tớ tiếp tục sử dụng ví dụ tại đây $$P(x) = 2x^2 - 3x + 3$$

Chúng tớ thấy rằng $P(x)$ là 1 trong nhiều thức bậc nhị và tất cả chúng ta rất có thể tính được $$P(1) = 2, ~~P(2) = 5, ~~P(3) = 12.$$

Bài toán nhiều thức nội suy là Việc ngược, tức là, cho thấy $P(1) = 2$, $P(2) = 5$, và $P(3) = 12$, lần lại nhiều thức $P(x)$.

Ở một nội dung bài viết trước, tôi sở hữu phân tách xẻ một kinh nghiệm tay nghề của tôi Lúc thực hiện toán, ê là lúc đối lập với 1 Việc tuy nhiên tất cả chúng ta ko biết cần thực hiện ra làm sao, thì việc trước tiên tất cả chúng ta rất có thể thực hiện là đánh giá những tình huống quan trọng đặc biệt của Việc. Chúng tớ demo coi với những tình huống quan trọng đặc biệt ê thì Việc sở hữu giải quyết và xử lý được ko. thường thì bằng phương pháp giải những tình huống quan trọng đặc biệt tuy nhiên tất cả chúng ta lần đi ra được những nghệ thuật rất có thể dùng để làm giải quyết và xử lý Việc nhập tình huống tổng quát tháo.

Đối với 1 nhiều thức $f(x)$ ngẫu nhiên, nếu như $f(u) = 0$ thì $u$ là 1 trong nghiệm của nhiều thức, vì thế $f(x)$ tiếp tục phân tách không còn cho tới $x-u$, và tất cả chúng ta rất có thể ghi chép được $f(x)$ bên dưới dạng $$f(x) = (x-u)g(x).$$

Sử dụng đặc thù này, tất cả chúng ta tiếp tục thực hiện một Việc giản dị và đơn giản tại đây. Tìm nhiều thức $A(x)$ sao cho tới $$A(1) = 1, ~~A(2) = 0, ~~A(3) = 0.$$

Rõ ràng nhiều thức $A(x)$ sẽ sở hữu được dạng $$A(x) = a (x-2)(x-3)$$

Hai ĐK $A(2) = 0$, $A(3) = 0$ tiếp tục thoã mãn. Vậy ĐK $A(1) = 1$ thì sao?

Chúng tớ thay cho $x=1$ nhập thì sở hữu $$A(1) = a (1-2)(1-3) = 1$$

Vậy tất cả chúng ta rất có thể lựa chọn $$a = \frac{1}{(1-2)(1-3)},$$ và như thế tất cả chúng ta tiếp tục tìm ra nhiều thức $$A(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}$$ thõa mãn ĐK $$A(1) = 1, ~~A(2) = 0, ~~A(3) = 0.$$

Tương tự động, tất cả chúng ta rất có thể tìm ra nhiều thức $B(x)$ thõa mãn ĐK $$B(1) = 0, ~~B(2) = 1, ~~B(3) = 0,$$ ê đó là $$B(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}.$$

Và nhiều thức $C(x)$ thõa mãn ĐK $$C(1) = 0, ~~C(2) = 0, ~~C(3) = 1$$ đó là $$C(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}.$$

Ở bên trên, tất cả chúng ta tiếp tục giải những tình huống quan trọng đặc biệt và lần đi ra được những nhiều thức $A(x)$, $B(x)$ và $C(x)$ thõa mãn ĐK $$A(1) = 1, ~~A(2) = 0, ~~A(3) = 0$$ $$B(1) = 0, ~~B(2) = 1, ~~B(3) = 0$$ $$C(1) = 0, ~~C(2) = 0, ~~C(3) = 1$$

Bây giờ, so với Việc tổng quát tháo, lần $P(x)$ sao cho tới $P(1) = 2$, $P(2) = 5$, $P(3) = 12$ thì sao?

Các các bạn tiếp tục trông thấy côn trùng đối sánh tương quan thân ái nhiều thức $P(x)$ với những nhiều thức $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$ chưa?

Rõ ràng nếu như tất cả chúng ta lấy $$P(x) = 2 ~A(x) + 5 ~B(x) + 12 ~C(x)$$
thì $$P(1) = 2 ~A(1) + 5 ~B(1) + 12 ~C(1) = 2 + 0 + 0 = 2,$$ $$P(2) = 2 ~A(2) + 5 ~B(2) + 12 ~C(2) = 0 + 5 + 0 = 5,$$ $$P(3) = 2 ~A(3) + 5 ~B(3) + 12 ~C(3) = 0 + 0 + 12 = 12.$$

Vậy tất cả chúng ta tiếp tục lần đi ra được rất nhiều thức $P(x)$, ê đó là $$P(x) = 2 ~A(x) + 5 ~B(x) + 12 ~C(x)$$ $$ = 2 \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)} + 5 \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)} + 12 \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}$$ $$ = (x-2)(x-3) - 5(x-1)(x-3)+ 6(x-1)(x-2) = 2x^2 - 3x + 3$$

Các các bạn thấy ko, chủ yếu nhờ việc giải Việc so với những tình huống giản dị và đơn giản là $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$, tuy nhiên tất cả chúng ta tiếp tục lần đi ra được lời nói giải cho tới Việc tổng quát tháo $P(x)$!

Bây giờ tất cả chúng ta tiếp tục sẵn sàng nhằm tuyên bố công thức nội suy Lagrange.

Nếu $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, $x_{n+1}$ là $n+1$ số thực không giống nhau, và $y_1$, $y_2$, $\dots$, $y_n$, $y_{n+1}$ là $n+1$ số thực ngẫu nhiên. Chúng tớ tiếp tục lần nhiều thức $P(x)$ sở hữu bậc bé xíu bại hoặc vày $n$ thõa mãn ĐK $$P(x_1) = y_1, ~~P(x_2) = y_2, \dots, ~~P(x_n) = y_n, ~~P(x_{n+1})=y_{n+1}.$$

Như phía trên, tất cả chúng ta thấy rằng nhiều thức $P(x)$ rất có thể được thi công kể từ những nhiều thức $P_1(x)$, $P_2(x)$, $\dots$, $P_n(x)$, $P_{n+1}(x)$ như sau $$P(x) = y_1 ~P_1(x) + y_2 ~P_2(x) + \dots + y_n ~P_n(x) + y_{n+1} ~P_{n+1}(x),$$ nhập ê, những nhiều thức $P_1(x)$, $\dots$, $P_{n+1}(x)$ được xác lập như sau.

$$P_1(x) = \frac{(x-x_2)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_1-x_2)(x_1-x_3) \dots (x_1-x_n)(x_1-x_{n+1})}$$ $$P_2(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_2-x_1)(x_2-x_3) \dots (x_2-x_n)(x_2-x_{n+1})}$$ $$\dots$$ $$P_n(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_{n+1})}{(x_n-x_1)(x_n-x_2) \dots (x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n+1})}$$ $$P_{n+1}(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_n)}{(x_{n+1}-x_1)(x_{n+1}-x_2) \dots (x_{n+1}-x_{n-1})(x_{n+1}-x_{n})}$$

Các nhiều thức này thõa mãn ĐK $$P_1(x_1) = 1, ~~P_1(x_2) = 0, ~~P_1(x_3) = 0, \dots, ~~P_1(x_n) = 0, ~~P_1(x_{n+1}) = 0.$$ $$P_2(x_1) = 0, ~~P_2(x_2) = 1, ~~P_2(x_3) = 0, \dots, ~~P_2(x_n) = 0, ~~P_2(x_{n+1}) = 0.$$ $$\dots$$ $$P_n(x_1) = 0, ~~P_n(x_2) = 0, ~~P_n(x_3) = 0, \dots, ~~P_n(x_{n}) = 1, ~~P_n(x_{n+1}) = 0.$$ $$P_{n+1}(x_1) = 0, ~~P_{n+1}(x_2) = 0, ~~P_{n+1}(x_3) = 0, \dots, ~~P_{n+1}(x_n) = 0, ~~P_{n+1}(x_{n+1}) = 1.$$

Xem thêm: vi ét bậc 3

Tóm lại tất cả chúng ta sở hữu $$P(x) = y_1 \frac{(x-x_2)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_1-x_2)(x_1-x_3) \dots (x_1-x_n)(x_1-x_{n+1})} + y_2 \frac{(x-x_1)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_2-x_1)(x_2-x_3) \dots (x_2-x_n)(x_2-x_{n+1})}$$ $$ + \dots + y_n \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_{n+1})}{(x_n-x_1)(x_n-x_2) \dots (x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n+1})} + y_{n+1} \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_n)}{(x_{n+1}-x_1)(x_{n+1}-x_2) \dots (x_{n+1}-x_{n-1})(x_{n+1}-x_{n})},$$

Hay ghi chép ngắn ngủn gọn gàng lại như sau $$P(x) = \sum_{i=1}^{n+1} y_i \prod_{j \neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$
Đây đó là công thức nội suy Lagrange.

Chúng tớ đánh giá một vài ba ví dụ.

Ví dụ 1. Tìm nhiều thức $P(x)$ sở hữu bậc bé xíu bại hoặc vày $4$ sao cho tới $$P(1) = 1, ~~P(2) = 1, ~~P(3) = 2, ~~P(4) = 3, ~~P(5) = 5$$

Chúng tớ sử dụng công thức nội suy Lagrange  $$P(x) = \frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)} + \frac{(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)}{(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)}$$ $$+ 2 \frac{(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)}{(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)} + 3 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)}{(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)} + 5 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)}$$

Ví dụ 2. Tìm nhiều thức $P(x)$ sở hữu bậc bé xíu bại hoặc vày $4$ sao cho tới $$P(1) = 1, ~~P(2) = 4, ~~P(3) = 9, ~~P(4) = 16, ~~P(5) = 25$$

Dùng công thức nội suy Lagrange thì $$P(x) = \frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)} + 4 \frac{(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)}{(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)}$$ $$+ 9 \frac{(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)}{(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)} + 16 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)}{(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)} + 25 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} $$

Khai triển những biểu thức này đi ra, những chúng ta cũng có thể kiểm bệnh rằng $P(x) = x^2$.