Đẳng thức lượng giác

Bách khoa toàn thư banh Wikipedia

Lượng giác

Khái quát Lịch sử Ứng dụng Hàm Hàm ngược
Tham khảo
Đẳng thức Giá trị quánh biệt Bảng Đường tròn trĩnh đơn vị
Định lý
Sin Cos Tang Cotang Pythagoras
Vi tích phân
Phép thế lượng giác Tích phân Hàm nghịch tặc đảo Đạo hàm
x t s

Trong toán học tập, những đẳng thức lượng giác là những phương trình chứa chấp những dung lượng giác, đích thị với cùng một dải rộng lớn những độ quý hiếm của đổi thay số.

Bạn đang xem: đẳng thức lượng giác

Các đẳng thức này hữu ích mang đến việc rút gọn gàng những biểu thức chứa chấp dung lượng giác. Ví dụ trong những việc tính tích phân với những hàm ko cần là lượng giác: rất có thể thay cho bọn chúng vày những dung lượng giác và người sử dụng những đẳng thức lượng giác nhằm giản dị hóa luật lệ tính.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Tuần trả, đối xứng và tịnh tiến[sửa | sửa mã nguồn]

Các đẳng thức sau rất có thể hay thấy bên trên vòng tròn trĩnh đơn vị:

Tuần trả (k nguyên)	Đối nhau:	Phụ nhau	Bù nhau	Hơn xoàng xĩnh nhau	Hơn xoàng xĩnh nhau

Đẳng thức sau cũng nhiều khi hữu ích:

với

Đẳng thức Pytago[sửa | sửa mã nguồn]

Các đẳng thức sau nhờ vào lăm le lý Pytago.

Đẳng thức thứ hai và 3 rất có thể suy đi ra kể từ đẳng thức đầu vày phân tách nó mang đến cos²(x) và sin²(x).

Công thức nằm trong trừ lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm thắt Định lý Ptolemy

Cách chứng tỏ thời gian nhanh những công thức này là người sử dụng công thức Euler.

với

và

Công thức góc bội[sửa | sửa mã nguồn]

Bội hai[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức sau rất có thể suy đi ra kể từ những công thức bên trên. Cũng rất có thể người sử dụng công thức de Moivre với n = 2.

Công thức góc kép rất có thể dùng làm lần cỗ tía Pytago. Nếu (a, b, c) là cỗ tía Pytago thì (a² − b², 2ab, c²) cũng vậy.

Bội ba[sửa | sửa mã nguồn]

Cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ của tình huống n = 3:

Nâng cao[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức hạ bậc[sửa | sửa mã nguồn]

Giải những phương trình ở công thức bội mang đến cos²(x) và sin²(x), thu được:

Công thức góc phân tách đôi[sửa | sửa mã nguồn]

Thay x/2 mang đến x vô công thức bên trên, rồi giải phương trình mang đến cos(x/2) và sin(x/2) nhằm thu được:

Dẫn đến:

Nhân với khuôn số và tử số 1 + cos x, rồi người sử dụng lăm le lý Pytago nhằm giản dị hóa:

Tương tự động, lại nhân với khuôn số và tử số của phương trình (1) vày 1 − cos x, rồi giản dị hóa:

Suy ra:

Nếu

thì:

Xem thêm: kung fu panda 1

and

Phương pháp người sử dụng t thay cho thế như bên trên hữu ích vô giải tích nhằm gửi những tỷ trọng thức chứa chấp sin(x) và cos(x) trở thành hàm của t. Cách này gom tính đạo hàm của biểu thức đơn giản dễ dàng.

Biến tích trở thành tổng[sửa | sửa mã nguồn]

Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên rất có thể suy đi ra.

Biến tổng trở thành tích[sửa | sửa mã nguồn]

Thay x vày (x + y) / 2 và y vày (x – y) / 2, suy ra:

Hàm lượng giác ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Dạng số phức[sửa | sửa mã nguồn]

với

Tích vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Trong những phần mềm với hàm quan trọng đặc biệt, những tích vô hạn sau sở hữu ích:

Đẳng thức số[sửa | sửa mã nguồn]

Cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

Richard Feynman kể từ nhỏ đang được lưu giữ đẳng thức sau:

Tuy nhiên nó là tình huống riêng biệt của:

Đẳng thức số sau không được tổng quát tháo hóa với đổi thay số:

Đẳng thức sau đã cho chúng ta thấy Đặc điểm của số 21:

Một phương pháp tính pi rất có thể nhờ vào đẳng thức số sau, bởi John Machin lần thấy:

hay người sử dụng công thức Euler:

Một số độ quý hiếm lượng giác thông dụng:

Dùng tỷ trọng vàng φ:

- -

Nâng cao[sửa | sửa mã nguồn]

Giải tích[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức vô giải tích sau người sử dụng góc đo vày radian

Các đẳng thức sau rất có thể suy đi ra kể từ bên trên và những quy tắc của đạo hàm:

Các biểu thức về tính chất tích phân rất có thể lần bên trên list tích phân với dung lượng giác và list tích phân với dung lượng giác ngược.

Hàm lượng giác nghịch tặc đảo[sửa | sửa mã nguồn]

Các dung lượng giác tuần trả, vì vậy nhằm lần hàm nghịch tặc hòn đảo, cần thiết số lượng giới hạn miền của hàm. Dươi đấy là khái niệm những dung lượng giác nghịch tặc đảo:

Giới hạn miền	Định nghĩa
-π/2 < y < π/2	y = arcsin(x) Khi và chỉ Khi x = sin(y)
0 < y < π	y = arccos(x) Khi và chỉ Khi x = cos(y)
-π/2 < y < π/2	y = arctan(x) Khi và chỉ Khi x = tan(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0	y = arccot(x) Khi và chỉ Khi x = cot(y)
0 < y < π và y ≠ π/2	y = arcsec(x) Khi và chỉ Khi x = sec(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0	y = arccsc(x) Khi và chỉ Khi x = csc(y)

Các hàm nghịch tặc hòn đảo rất có thể được ký hiệu là sin⁻¹ hoặc cos⁻¹ thay cho mang đến arcsin và arccos. Việc người sử dụng ký hiệu nón rất có thể khiến cho lầm lẫn với hàm nón của dung lượng giác.

Xem thêm: xem phim truy tim hung thu

Các dung lượng giác nghịch tặc hòn đảo cũng rất có thể được khái niệm vày chuỗi vô hạn: