dinh li cos

By Admin 26/09/2023 0

Bách khoa toàn thư cởi Wikipedia

Hình 1 – Một tam giác với những góc α (hoặc A), β (hoặc B), γ (hoặc C) thứu tự đối lập với những cạnh a, b, c.
Lượng giác
  • Khái quát
  • Lịch sử
  • Ứng dụng
  • Hàm
    • Hàm ngược
Tham khảo
  • Đẳng thức
  • Giá trị quánh biệt
  • Bảng
  • Đường tròn trĩnh đơn vị
Định lý
  • Sin
  • Cos
  • Tang
  • Cotang
  • Pythagoras
Vi tích phân
  • Phép thế lượng giác
  • Tích phân
    • Hàm nghịch ngợm đảo
  • Đạo hàm
  • x
  • t
  • s

Trong lượng giác, Định lý cos (hay công thức cosine, luật cosine hoặc Định lý al-Kashi[1]) màn biểu diễn sự tương quan thân thuộc chiều nhiều năm của những cạnh của một tam giác với cosin của góc ứng. Sử dụng những kí hiệu nhập Hình 1, tớ hoàn toàn có thể tuyên bố quyết định lý cos bên dưới dạng công thức như sau:

Bạn đang xem: dinh li cos

Định lý cos được màn biểu diễn tương tự động cho tới nhị cạnh còn lại:

Định lý cos là tình huống tổng quát tháo của quyết định lý Pythagoras khi nhưng mà quyết định lý này chỉ đúng trong các tam giác vuông, khi nhưng mà góc γ là một trong góc vuông, kể từ cơ dẫn cho tới và làm cho quyết định lý cos suy vươn lên là trở nên quyết định lý Pythagoras:

Định lý này được dùng nhằm tính một cạnh chưa chắc chắn của tam giác - lúc biết được nhị cạnh còn sót lại và góc đối cạnh cơ.

Hình 2 – Tam giác tù ABC với đàng cao BH

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 3 – Ứng dụng của quyết định lý cos: mò mẫm cạnh chưa chắc chắn và góc chưa chắc chắn.

Định lý cos được sử dụng nhập quy tắc đạc tam giác nhằm giải một tam giác hoặc một đàng tròn trĩnh. Ví dụ nhập Hình 3, quyết định lý cos được dùng làm tìm:

  • cạnh loại phụ thân của một tam giác nếu như vẫn biết nhị cạnh còn sót lại và góc thân thuộc chúng:
  • ba góc nếu như biết phụ thân cạnh của tam giác
  • cạnh loại phụ thân nếu như biết nhị cạnh còn sót lại và góc đối lập một trong các nhị cạnh đó:

Công thức loại phụ thân giành được nhờ giải phương trình bậc nhị a2 − 2ab cos γ + b2 − c2 = 0 với ẩn a. Phương trình này còn có nhị nghiệm dương nếu như b sin γ < c < b, một nghiệm dương nếu như c ≥ b hoặc c = b sin γ, và vô nghiệm nếu như c < b sin γ.

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Sử dụng công thức tính khoảng chừng cách[sửa | sửa mã nguồn]

Trong hệ tọa phỏng Descartes, cho tới tam giác ABC đem phụ thân cạnh a, b, c và γ là góc đối lập cạnh c với tọa phỏng phụ thân đỉnh thứu tự là

Sử dụng công thức tính khoảng cách, tớ có

do đó

Công thức này dùng được cả tình huống tam giác nhọn và tam giác tù.

Sử dụng công thức lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 4 - Tam giác nhọn và đàng cao

Hạ đàng cao ứng với cạnh c như hình 4 tớ có

(Công thức bên trên vẫn đích nếu như α hoặc β là góc tù, khi cơ đàng cao ở ngoài tam giác và cos α hoặc cos β đem vệt âm). Nhân nhị vế với c tớ được

Tương tự động tớ đem

Cộng vế theo gót vế nhị phương trình sau tớ đem

Trừ vế theo gót vế phương trình đầu tớ đem

Xem thêm: xem kênh k+pm

đơn giản còn

Sử dụng quyết định lý Pytago[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 5 – Tam giác tù ABC với đàng cao BH

Trường phù hợp tam giác tù. Euclid chứng tỏ đinh lý bằng phương pháp vận dụng Định lý Pytago cho tới nhị tam giác vuông nhập Hình 5. Đặt CH = d và BH = h, nhập tam giác AHB tớ đem

và nhập tam giác CHB tớ đem

Khai triển nhiều thức phương trình đầu tiên:

thế phương trình loại nhị vào:

Đây là mệnh đề 12 của Euclid nhập luyện 2 của cục Cơ sở.[2] Chú ý rằng

Trường phù hợp tam giác nhọn. Được chứng tỏ nhập mệnh đề 13 của Euclid tức thì sau mệnh đề 12: ông vận dụng Định lý Pytago cho tới nhị tam giác vuông giành được bằng phương pháp kẻ đàng cao ứng với một trong các nhị cạnh kề góc γ và đơn giản và giản dị vị nhị thức.

Hình 6 – Chứng minh vị lượng giác nhập tình huống tam giác nhọn

Cách không giống nhập tình huống tam giác nhọn. Dựa nhập Hình 6 tớ có:

với Note rằng

Cũng kể từ Hình 6 tớ có:

Công thức này được dùng làm tính một góc lúc biết nhị cạnh và góc xen thân thuộc nhị cạnh cơ.

Sử dụng quyết định lý Ptolemy[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh quyết định lý cos vị quyết định lý Ptolemy

Vẽ đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác ABC. Dựng tam giác ABD vị tam giác ABC với AD = BC và BD = AC. Hạ đàng cao kể từ D và C, hạn chế AB thứu tự bên trên E và F. Ta có:

Áp dụng quyết định lý Ptolemy cho tới tứ giác nội tiếp ABCD:

Xem thêm: giấc mơ thiên đường

Trong tam giác cân[sửa | sửa mã nguồn]

Trong tam giác cân nặng, tự nên , quyết định lí cos trở thành:

hay

Sự tương đương nhập hình tứ diện[sửa | sửa mã nguồn]

Cho một tứ diện với α, β, γ, δ là diện tích S tứ mặt mũi của tứ diện cơ. Ký hiệu những góc nhị diện là và tương tự động, tớ có[3]

Định lý cos nhập hình học tập phi Euclid[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Phép đạc tam giác
  • Định lý sin
  • Định lý tang
  • Định lý cotang
  • Công thức Mollweide
  • Công thức nửa cạnh
  • Đẳng thức lượng giác

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Pickover, Clifford A. (2009). The math book. Thành Phố New York, NY. ISBN 978-1-4027-5796-9. OCLC 262694306.
  2. ^ Java applet version by Prof. D E Joyce of Clark University.
  3. ^ Casey, John (1889). A Treatise on Spherical Trigonometry: And Its Application to tát Geodesy and Astronomy with Numerous Examples. London: Longmans, Green, & Company. tr. 133.