giả thuyết poincaré

Bách khoa toàn thư phanh Wikipedia

Giả thuyết Poincare ^[1] là 1 trong trong mỗi fake thuyết toán học tập phổ biến và cần thiết hàng đầu vì thế Jules-Henri Poincaré thể hiện năm 1904, và được Grigori Perelman chứng tỏ nhập năm 2002, 2003. Trong 100 năm tồn bên trên, nó thẳng và con gián tiếp đưa về 4 huy chương Fields mang đến Smale (1966), Thurston (1982), Freedman (1986) và Perelman (2006).

Bạn đang xem: giả thuyết poincaré

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Cuối thế kỷ 19 cho tới vào đầu thế kỷ trăng tròn, Jules Henri Poincaré có lẽ rằng là mái ấm toán học tập vĩ đại nhất của nước Pháp, thậm chí còn của tất cả toàn cầu ngày cơ. Tác fake của thật nhiều công trình xây dựng toán học tập, cơ vật lý học tập, triết học tập từng đoạt được không ít phần thưởng quốc tế, phát triển thành member hoặc quản trị của biết bao hiệp hội cộng đồng bác bỏ học tập, member Viện hàn lâm khoa học tập Pháp, Henri Poincaré là hình hình họa vượt trội chất lượng tốt đẹp tuyệt vời nhất về việc thành công trí tuệ và xã hội tuy nhiên giai cung cấp tư sản thế kỉ XIX rất có thể sinh ra. Đó cũng chính là mái ấm bác bỏ học tập "xuyên ngành" cuối cùng: như 1 triết nhân về cách thức luận, ông là người sáng tác những công trình xây dựng tầm cỡ về nền tảng cách thức khoa học tập, về cơ cấu tổ chức óc trạng của quy trình nhà tù phá; ở địa điểm mái ấm cơ vật lý, ông đang được 12 phiên được đề xuất giải Nobel, và thời buổi này được xem là đồng người sáng tác của thuyết kha khá "thu hẹp"; với tư cơ hội mái ấm toán học tập, sát bên David Hilbert, ông được xem là mái ấm toán học tập vĩ đại nhất, bên cạnh đó là "bậc thầy phổ quát mắng cuối cùng", bao quấn đại số học tập lộn hình học tập, lý thuyết số và hình học tập. Chính ông, nhập một công trình xây dựng năm 1895, đang được gây dựng đi ra một ngành mới nhất của hình học tập tuy nhiên ông mệnh danh là "analysis situs", thời buổi này gọi là tôpô học tập (topo, giờ đồng hồ Hy Lạp sở hữu nghĩa: điểm, ko gian).

Di sản hoành tráng của ông cho tới ni vẫn tồn tại đang rất được hậu sinh khai quật. điều đặc biệt fake thuyết Poincaré vì thế ông thể hiện năm 1904 là 1 trong trong mỗi thử thách lớn số 1 của toán học tập thế kỷ trăng tròn.

Phát biểu[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu một nhiều tạp tía chiều compact không tồn tại biên là đơn liên, thì nó đồng phôi với mặt mày cầu tía chiều.

Ý nghĩa trực quan[sửa | sửa mã nguồn]

Để dễ dàng tưởng tượng, các bạn hãy lấy một trái khoáy bóng (hoặc một vật hình cầu), vẽ bên trên cơ một đàng cong kín không tồn tại điểm hạn chế nhau, tiếp sau đó hạn chế trái khoáy bóng theo dõi đàng một vừa hai phải vẽ: các bạn sẽ sẽ có được nhì miếng bóng vỡ. Làm lại như thế với một chiếc phao (hay một vật hình xuyến): phiên này chúng ta ko được nhì miếng phao vỡ tuy nhiên chỉ được sở hữu một. Trong hình học tập topo, người tớ gọi trái khoáy bóng -đối lập với dòng sản phẩm phao- là 1 trong mặt phẳng liên thông giản dị. Một điều rất giản đơn chứng tỏ là nhập không khí 3 chiều, từng mặt phẳng liên thông giản dị hữu hạn và không tồn tại biên đều là mặt phẳng của một vật hình cầu. Vào năm 1904, Henri Poincaré đề ra câu hỏi: Liệu đặc thù này của những vật hình cầu sở hữu còn đúng trong các không khí tứ chiều. Điều kỳ kỳ lạ là những mái ấm hình học tập topo đang được chứng tỏ được rằng điều này đích thị trong mỗi không khí to hơn hoặc bởi vì 5 chiều, tuy nhiên không có bất kì ai chứng tỏ được đặc thù này vẫn đúng trong các không khí tứ chiều.

Chính xác rộng lớn, những người dân phân tích toán học tập khái niệm nhì không khí tôpô là đồng phôi nếu như sở hữu một tuy vậy ánh liên tiếp kể từ không khí này nhập không khí cơ sao mang đến ánh xạ ngược cũng liên tiếp, tức là nhì không khí tựa như nhau về mặt mày tôpô. Một nhiều tạp tía chiều không tồn tại biên là 1 trong không khí tôpô tuy nhiên từng điểm sở hữu một phụ cận đồng phôi với 1 phụ cận của không khí Euclide tía chiều , tức là về mặt mày địa hạt một nhiều tạp tía chiều ko không giống gì . Một không khí tôpô là đơn liên nếu như từng đàng cong đóng góp liên tiếp bên trên này đều rất có thể được "thắt" một cơ hội liên tiếp trở thành một điểm, tức là nó đồng luân liên tiếp với 1 điểm, rằng cách tiếp theo group cơ bạn dạng của không khí chỉ chứa chấp thành phần đơn vị chức năng.

Chứng minh của Perelman[sửa | sửa mã nguồn]

Giả thuyết Poincaré từng thực hiện nhiều cỗ óc toán học tập toàn cầu của thế kỉ trăng tròn cần phân phát nóng bức và biết bao chứng tỏ sai (cũng tựa như các "chứng minh" ko được lưu ý đến) từng được thể hiện. Viện Toán học tập Clay (Hoa Kỳ) đành xếp nó vào một trong những nhập 7 vấn đề khó khăn của thiên niên kỷ ko giải được nhằm thách thách thế kỉ 21 với phần thưởng rộng lớn cho tới một triệu USD.

Rất may là ko lâu tiếp sau đó, nhập thời điểm cuối năm 2002, mái ấm toán học tập Nga kỳ dị tuy nhiên tài Grigori Perelman bên trên Viện toán học tập Steklov (thành phố St. Petersburg) đang được công tía bên trên Internet nhì bạn dạng phân tích nhiều năm khoảng chừng 61 trang ghi chép tay. Perelman nhịn nhường như đang được chứng tỏ được lăm le lý, tuy nhiên ông ko thể hiện một công trình xây dựng rất đầy đủ bên trên những tập san khoa học tập. phần lớn group Chuyên Viên tiên phong hàng đầu đang được hợp tác nhập đánh giá công trình xây dựng rất rất phức tạp của Perelman. Trong một thời hạn nhiều năm không một ai dám đứng đi ra đoan chắc chắn là công trình xây dựng này là đích thị, tuy rằng rằng không tồn tại lỗi nguy hiểm nào là được phân phát hiện nay. Đến hè năm 2006 thì tía group song lập cùng nhau đang được công tía sản phẩm việc làm đánh giá công phu của tớ và sự đồng thuận và đã được tạo hình trong những Chuyên Viên là Perelman đang được chứng tỏ Giả thuyết Poincaré, xong xuôi sự tồn bên trên của chính nó sau sát 1 thế kỷ. Còn việc Perelman chứng tỏ được toàn cỗ Giả thuyết Hình học tập hóa hoặc ko thì có lẽ rằng còn ngóng tăng thời hạn.

Dòng Ricci và phẫu thuật hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Năm 1982, Hamilton thể hiện một lịch trình nhằm chứng tỏ fake thuyết Poincaré.^[2] Ý tưởng của Hamilton là đặt điều một metric Riemann lên nhiều tạp tía chiều đóng góp đơn liên, tiếp sau đó thăm dò cơ hội cải thiện metric này; ví như nếu như metric được nâng cấp mà đến mức nó có tính cong dương hằng thì, theo dõi những sản phẩm cổ xưa nhập hình học tập Riemann, nhiều tạp tía chiều cần là 1 trong hình cầu. Hamilton dùng phương trình dòng sản phẩm Ricci nhằm nâng cấp metric:

Xem thêm: xem phim chiếu rạp việt nam

trong cơ g là metric và R là phỏng cong Ricci, và tớ mong muốn rằng Khi t tăng, nhiều tạp cùng theo với metric của chính nó tiếp tục trở thành dễ nắm bắt rộng lớn.

Trong một số trong những tình huống, Hamilton cho rằng cách thức này đầy đủ hiệu suất cao, ví dụ như nếu như nhiều tạp Riemann có tính cong Ricci dương từng điểm. Tuy nhiên, với 1 metric Riemann ngẫu nhiên, dòng sản phẩm Ricci đưa đến những kỳ dị phức tạp rộng lớn.

Một trở thành tựu rộng lớn của Perelman là cho rằng, nhập một số trong những tình huống, những kỳ dị này tiếp tục nom tựa như hình cầu hoặc hình trụ bị co hẹp. Với một tế bào miêu tả lăm le lượng của hiện tượng lạ này, Perelman hạn chế nhiều tạp xung quanh những kỳ dị, phân chia nhiều tạp trở thành nhiều miếng, và nối tiếp dòng sản phẩm Ricci bên trên mỗi từng miếng nhỏ. Quá trình này được gọi là loại Ricci với phẫu thuật.^[3]

Giả thuyết hình học tập hóa[sửa | sửa mã nguồn]

Vào khoảng chừng trong thời gian cuối thập kỉ 1970 mái ấm toán học tập Mỹ William Thurston sở hữu những để ý theo dõi một phía mới nhất. Ông nhận ra là nhập tình huống hai phía mặt mày cầu là mặt mày có một không hai tuy nhiên bên trên cơ rất có thể đặt điều hình học tập elliptic (tổng tía góc nhập một tam giác rộng lớn hẳn rộng lớn 180 độ; hai tuyến đường trực tiếp bất kì đều hạn chế nhau; phỏng cong của mặt mày là hằng số dương), bên trên mặt mày xuyến một lỗ sở hữu hình học tập Euclide (tổng tía góc nhập một tam giác bởi vì 180 độ; qua loa một điểm ở ngoài một đường thẳng liền mạch có duy nhất một đàng thằng tuy vậy song với đường thẳng liền mạch đang được cho; phỏng cong của mặt mày luôn luôn trực tiếp bởi vì không); với toàn bộ những mặt mày xuyến sót lại tớ sở hữu hình học tập hyperpolic (tổng tía góc nhập một tam giác nhỏ rộng lớn 180 độ; qua loa một điểm ở ngoài một đường thẳng liền mạch rất có thể vẽ được vô số đàng thằng tuy vậy song với đường thẳng liền mạch đang được cho; phỏng cong của mặt mày là hằng số âm). Thurston tổng quát mắng hoá để ý này lên không khí tía chiều, một cơ hội nôm mãng cầu, từng nhiều tạp ko biên compact tía chiều đều rất có thể được hạn chế trở thành từng miếng tuy nhiên bên trên mỗi từng miếng sở hữu một hình học tập có một không hai. Đây được gọi là Giả thuyết Hình học tập hoá; nó chứa chấp Giả thuyết Poincaré như thể tình huống riêng biệt. Thurston được tặng giải Fields năm 1982.

Giả thuyết Hình học tập hoá của Thurston phanh đi ra một phía mới nhất nhằm phân tích Giả thuyết Poincaré. Vì phỏng cong của một nhiều tạp nhẵn được khái niệm trải qua những đạo hàm hàng đầu và bậc nhì chắc chắn (trong luật lệ tính Vi Tích phân phỏng cong của một đàng cong với toạ phỏng được thông số hóa được mang đến trải qua những đạo hàm hàng đầu và bậc nhì của tọa độ) nên xuất hiện nay tài năng dùng những khí cụ của Hình học tập vi phân, Giải tích và Phương trình đạo hàm riêng biệt. Một lịch trình nhằm mục đích chứng tỏ Giả thuyết Hình học tập hoá và đã được đưa ra bởi vì mái ấm toán học tập Mỹ Richard Hamilton nhập đầu thập kỉ 1980.

Xem thêm: tam sinh tam thế thập lý đào hoa bản điện ảnh tap 1

Giả thuyết Poincaré phanh rộng[sửa | sửa mã nguồn]

Giả thuyết tổng quát mắng rộng lớn mang đến nhiều tạp n-chiều được gọi là Giả thuyết Poincaré không ngừng mở rộng. Trong tình huống n=2 người tớ đang được biết kể từ lâu và không thật khó khăn nhằm chứng minh rằng mặt mày cầu hai phía là mặt mày ko biên compact có một không hai tuy nhiên là đơn liên. Những mặt mày xuyến là ko đơn liên vì thế bọn chúng sở hữu những "lỗ" và vì thế sở hữu những đàng cong đóng góp ko thể thắt lại được.

Những nỗ lực nhằm phân tích Giả thuyết Poincaré không ngừng mở rộng đang được kéo theo những tiến thủ cỗ vĩ đại rộng lớn nhập ngành Tôpô và nhập Toán học tập rằng công cộng. Năm 1960 mái ấm toán học tập rộng lớn người Mỹ Stephen Smale đang được chứng tỏ Giả thuyết Poincaré không ngừng mở rộng mang đến từng n to hơn hoặc bởi vì 5. Công cụ hầu hết của ông là lý thuyết Morse nhập Tôpô vi phân. Nhờ vậy Smale được trao giải Fields năm 1966. Mãi cho tới năm 1982 tình huống n=4 vừa mới được giải quyết và xử lý nhờ công của phòng toán học tập Mỹ Michael Freedman. Công cụ của ông lại trọn vẹn là Tôpô Hình học tập, tức là rằng công cộng ko dùng những cấu hình vi phân hoặc đại số. Freedman rồi cũng rất được trao phần thưởng Fields năm 1986.

Đóng hùn vĩ đại rộng lớn nhập những công trình xây dựng phân tích kéo theo những sản phẩm này và những tiến thủ cỗ tiếp sau đó cần kể tới John Milnor (giải Fields 1966), John Stallings, Papakyriapoulos, Sergey Novikov (giải Fields 1970), Robion Kirby, Simon Donaldson (giải Fields 1986) và nhiều người không giống. Những cách thức không giống nhau và đã được sử dụng: Tôpô vi phân, Tôpô đại số, Tôpô hình học tập, và cả những phát minh kể từ cơ vật lý lý thuyết.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

• The Poincaré conjecture described Lưu trữ 2015-06-07 bên trên Wayback Machine by the Clay Mathematics Institute.
• The Geometry of 3-Manifolds (video) Lưu trữ 2010-01-27 bên trên Wayback Machine A public lecture on the Poincaré and geometrization conjectures, given by C. McMullen at Harvard in 2006.
• Bruce Kleiner (Yale) and John W. Lott (University of Michigan): "Notes & commentary on Perelman's Ricci flow papers".
• Stephen Ornes, What is The Poincaré Conjecture? Lưu trữ 2008-12-04 bên trên Wayback Machine, Seed Magazine, ngày 25 mon 8 năm 2006.
• "The Poincaré Conjecture" – Đài truyền hình BBC Radio 4 programme In Our Time, ngày 2 mon 11 năm 2006. Contributors June Barrow-Green, Lecturer in the History of Mathematics at the Open University, Ian Stewart, Professor of Mathematics at the University of Warwick, Marcus du Sautoy, Professor of Mathematics at the University of Oxford, and presenter Melvyn Bragg.
• "Solving an Old Math Problem Nets Award, Trouble" – NPR segment, ngày 26 mon 12 năm 2006.
• Nasar, Sylvia (ngày 21 mon 8 năm 2006). “Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it”. The New Yorker. and Gruber, David. Bản gốc tàng trữ ngày 3 mon 9 năm 2012. Truy cập ngày 24 mon 8 năm 2006.
• Poincaré's conjecture at the Manifold Atlas

Video[sửa | sửa mã nguồn]

• The Poincaré Conjecture bên trên YouTube, Brief visual overview of the Poincaré Conjecture, background and solution.
• Steckles, Katie; Isenberg, James A. “Poincaré Conjecture” (video). Brady Haran. Truy cập ngày 23 tháng bốn năm 2014.