hàm hyperbolic

Bách khoa toàn thư há Wikipedia

Một tia trải qua gốc của hyperbol tách hyperbol bên trên điểm , với là gấp đôi diện tích S của hình số lượng giới hạn vì chưng tia và trục . Đối với những điểm bên trên hyperbol ở bên dưới trục , diện tích S được đánh giá vì chưng âm (xem phiên bạn dạng hình động đối chiếu thân thích nồng độ giác và hàm hyperbol.

Trong toán học tập, hàm hyperbol (Hán - Việt: tuy nhiên khúc) với những đặc điểm tương tự động tựa như các nồng độ giác thường thì. Những hàm hyperbol cơ bạn dạng bao gồm sin hyperbol "sinh", và cosin hyperbol "cosh", hàm tang hyperbol "tanh" và những hàm dẫn đi ra kể từ bọn chúng, ứng tựa như các hàm dẫn xuất vô nồng độ giác. Hàm hyperbol ngược là những hàm sin hyperbol diện tích "arsinh" (hay "asinh" hoặc "arcsinh")[1].

Bạn đang xem: hàm hyperbolic

Giống tựa như các điểm (cos t, sin t) phía trên đàng tròn trặn nửa đường kính đơn vị chức năng, những điểm (cosh t, sinh t) phía trên Phần hông nên của hyperbol đều. Các hàm Hyperbol xuất hiện nay nhiều trong những nghiệm của những phương trình vi phân tuyến tính hoặc bắt gặp, phương trình xác đánh giá dạng thừng xích treo thân thích 2 điểm, và phương trình Laplace vô hệ tọa phỏng Descartes. Trong khi bọn chúng còn xuất hiện nay nhiều trong những yếu tố bao hàm lý thuyết năng lượng điện kể từ, sự truyền sức nóng, thủy động lực học tập, và thuyết kha khá hẹp.

Hàm hyperbol nhận độ quý hiếm thực so với những thông số thực được gọi là góc hyperbol. Trong giải tích phức, bọn chúng đó là những hàm nón hữu tỉ, Hoặc là hàm phân hình (meromorphic function).

Các hàm hyperbol được nhị ngôi nhà toán học tập Vincenzo Riccati và Johann Heinrich Lambert song lập thể hiện vô trong thời gian 1760.[2] Riccati dùng ký hiệu Sc.Cc. ([co]sinus circulare) nhằm nói đến việc những nồng độ giác Sh.Ch. ([co]sinus hyperbolico) nhằm nói đến việc những hàm hyperbol. Lambert là kẻ đã mang đi ra những ký hiệu được dùng như thời buổi này.[3]

Biểu thức của những hàm hyperbol[sửa | sửa mã nguồn]

sinh, coshtanh
csch, sechcoth

Công thức màn biểu diễn những hàm hyperbol:

  • Sin hyperbol:
  • Cos hyperbol:
  • Tang hyperbol:
  • Cotang hyperbol:
  • Sec hyperbol:
  • Cosec hyperbol:

Các hàm hyperbol rất có thể màn biểu diễn qua quýt số phức:

  • Sin hyperbol:
  • Cos hyperbol:
  • Tang hyperbol:
  • Cotang hyperbol:
  • Sec hyperbol:
  • Cosec hyperbol:

với i là đơn vị chức năng ảo khái niệm là i2 = −1.

Dạng phức trong những khái niệm bên trên được dẫn đi ra kể từ công thức Euler.

Chú ý rằng, theo đòi khái niệm, sinh2 x Có nghĩa là (sinh x)2, chứ không hề nên sinh(sinh x); và điều này tương tự động cho những hàm hyperbol không giống.

Mối mối quan hệ trong những hàm hyperbol[sửa | sửa mã nguồn]

Từ đó:

Theo mối quan hệ bên trên thường thấy cosh x và sech x là những hàm chẵn; sót lại là những hàm lẻ.

Sin hyperbol và cos hyperbol vừa lòng đẳng thức

tương tự động như công thức lượng giác Pythagore: . Do vậy tao cũng có:

Tang hyperbol là nghiệm của vấn đề độ quý hiếm biên phi tuyến[4]:

Người tao vẫn chứng tỏ rằng diện tích S số lượng giới hạn vì chưng cung cosh x luôn luôn trực tiếp vì chưng chiều nhiều năm của cung đó:[5]

Cộng những đối số[sửa | sửa mã nguồn]

đặc biệt

Và:

Xem thêm: phim cô nàng mạnh mẽ tập 9

Công thức trừ[sửa | sửa mã nguồn]

Và:

Nguồn tìm hiểu thêm.[6]

Công thức tính 1/2 đối số[sửa | sửa mã nguồn]

với sgn là hàm lốt.

Nếu x ≠ 0, thì

[7]

Hàm hyperbol ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Đạo hàm[sửa | sửa mã nguồn]

Nguyên hàm[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm: Danh sách tích phân với hàm hyperbol

với C là hằng số tích phân.

Khai triển chuỗi Taylor[sửa | sửa mã nguồn]

Ta rất có thể màn biểu diễn những hàm hyperbol vì chưng chuỗi Taylor:

Hàm sinh x màn biểu diễn theo đòi chuỗi Taylor chỉ với số nón lẻ của x. Do vậy nó là hàm lẻ, hoặc, −sinh x = sinh(−x), và sinh 0 = 0.

Hàm cosh x màn biểu diễn theo đòi chuỗi Taylor chỉ với số nón chẵn của x. Do vậy nó là hàm chẵn, hoặc, nó đối xứng qua quýt trục y. Tổng của chuỗi sinh và cosh là biểu thức chuỗi vô hạn của hàm nón.

(chuỗi Laurent)
(chuỗi Laurent)

với

là số Bernoulli loại n
là số Euler loại n

Liên hệ với hàm mũ[sửa | sửa mã nguồn]

Từ khái niệm của sinh và cosh hyperbol, tao với những hệt nhau thức sau:

Các biểu thức bên trên tương tự động tựa như các hàm sin và cosin, dựa vào công thức Euler, như thể tổng của nhị nón lũy quá.

Thêm vô cơ,

Hàm hyperbol cho tới số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Vì hàm nón được khái niệm cho tất cả số phức, rất có thể không ngừng mở rộng khái niệm hàm hyperbol cho những đối số phức. Khi ấy những hàm sinh z và cosh z là những hàm chỉnh hình (Holomorphic function).

Xem thêm: con gai chi hang tap 22

Các nguyệt lão tương tác trong những nồng độ giác thông thường được cho tới vì chưng công thức Euler và vận dụng cho những đổi thay phức:

do đó:

Vì vậy những hàm hyperbol phức là những hàm tuần trả theo đòi phần ảo, với chu kỳ luân hồi (và cho những hàm tang và cotang hyperbol).

Hàm hyperbol vô mặt mày phẳng phiu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Hyperbolic functions Lưu trữ 2012-02-18 bên trên Wayback Machine on PlanetMath
  • Hyperbolic functions entry at MathWorld
  • GonioLab Lưu trữ 2007-10-06 bên trên Wayback Machine: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions (Java Web Start)
  • Web-based calculator of hyperbolic functions