Đẳng thức lượng giác

Bách khoa toàn thư banh Wikipedia

Lượng giác

Khái quát Lịch sử Ứng dụng Hàm Hàm ngược
Tham khảo
Đẳng thức Giá trị quánh biệt Bảng Đường tròn trĩnh đơn vị
Định lý
Sin Cos Tang Cotang Pythagoras
Vi tích phân
Phép thế lượng giác Tích phân Hàm nghịch ngợm đảo Đạo hàm
x t s

Trong toán học tập, những đẳng thức lượng giác là những phương trình chứa chấp những dung lượng giác, trúng với 1 dải rộng lớn những độ quý hiếm của đổi thay số.

Các đẳng thức này hữu ích mang đến việc rút gọn gàng những biểu thức chứa chấp dung lượng giác. Ví dụ trong các việc tính tích phân với những hàm ko nên là lượng giác: rất có thể thay cho bọn chúng bởi vì những dung lượng giác và người sử dụng những đẳng thức lượng giác nhằm giản dị và đơn giản hóa phép tắc tính.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Tuần trả, đối xứng và tịnh tiến[sửa | sửa mã nguồn]

Các đẳng thức sau rất có thể thường thấy bên trên vòng tròn trĩnh đơn vị:

Tuần trả (k nguyên)	Đối nhau:	Phụ nhau	Bù nhau	Hơn xoàng xĩnh nhau	Hơn xoàng xĩnh nhau

Đẳng thức sau cũng thỉnh thoảng hữu ích:

với

Đẳng thức Pytago[sửa | sửa mã nguồn]

Các đẳng thức sau phụ thuộc quyết định lý Pytago.

Đẳng thức thứ hai và 3 rất có thể suy đi ra kể từ đẳng thức đầu bởi vì phân tách nó mang đến cos²(x) và sin²(x).

Công thức nằm trong trừ lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]

Xem tăng Định lý Ptolemy

Cách minh chứng nhanh chóng những công thức này là người sử dụng công thức Euler.

với

và

Công thức góc bội[sửa | sửa mã nguồn]

Bội hai[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức sau rất có thể suy đi ra kể từ những công thức bên trên. Cũng rất có thể người sử dụng công thức de Moivre với n = 2.

Công thức góc kép rất có thể dùng để làm mò mẫm cỗ tía Pytago. Nếu (a, b, c) là cỗ tía Pytago thì (a² − b², 2ab, c²) cũng vậy.

Bội ba[sửa | sửa mã nguồn]

Cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ của tình huống n = 3:

Nâng cao[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức hạ bậc[sửa | sửa mã nguồn]

Giải những phương trình ở công thức bội mang đến cos²(x) và sin²(x), thu được:

Công thức góc phân tách đôi[sửa | sửa mã nguồn]

Thay x/2 mang đến x vô công thức bên trên, rồi giải phương trình mang đến cos(x/2) và sin(x/2) nhằm thu được:

Dẫn đến:

Nhân với kiểu mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi người sử dụng quyết định lý Pytago nhằm giản dị và đơn giản hóa:

Tương tự động, lại nhân với kiểu mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi vì 1 − cos x, rồi giản dị và đơn giản hóa:

Suy ra:

Nếu

thì:

and

Phương pháp người sử dụng t thay cho thế như bên trên hữu ích vô giải tích nhằm gửi những tỷ trọng thức chứa chấp sin(x) và cos(x) trở nên hàm của t. Cách này canh ty tính đạo hàm của biểu thức đơn giản dễ dàng.

Xem thêm: vi ét bậc 3

Biến tích trở nên tổng[sửa | sửa mã nguồn]

Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên rất có thể suy đi ra.

Biến tổng trở nên tích[sửa | sửa mã nguồn]

Thay x bởi vì (x + y) / 2 và y bởi vì (x – y) / 2, suy ra:

Hàm lượng giác ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Dạng số phức[sửa | sửa mã nguồn]

với

Tích vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Trong những phần mềm với hàm quan trọng, những tích vô hạn sau với ích:

Đẳng thức số[sửa | sửa mã nguồn]

Cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

Richard Feynman kể từ nhỏ vẫn lưu giữ đẳng thức sau:

Tuy nhiên nó là tình huống riêng rẽ của:

Đẳng thức số sau không được tổng quát lác hóa với đổi thay số:

Đẳng thức sau đã cho chúng ta thấy điểm sáng của số 21:

Một phương pháp tính pi rất có thể phụ thuộc đẳng thức số sau, tự John Machin mò mẫm thấy:

hay người sử dụng công thức Euler:

Một số độ quý hiếm lượng giác thông dụng:

Dùng tỷ trọng vàng φ:

- -

Nâng cao[sửa | sửa mã nguồn]

Giải tích[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức vô giải tích sau người sử dụng góc đo bởi vì radian

Các đẳng thức sau rất có thể suy đi ra kể từ bên trên và những quy tắc của đạo hàm:

Các biểu thức về tính chất tích phân rất có thể mò mẫm bên trên list tích phân với dung lượng giác và list tích phân với dung lượng giác ngược.

Hàm lượng giác nghịch ngợm đảo[sửa | sửa mã nguồn]

Các dung lượng giác tuần trả, vậy nên nhằm mò mẫm hàm nghịch ngợm hòn đảo, cần thiết số lượng giới hạn miền của hàm. Dươi đấy là khái niệm những dung lượng giác nghịch ngợm đảo:

Giới hạn miền	Định nghĩa
-π/2 < y < π/2	y = arcsin(x) khi và chỉ khi x = sin(y)
0 < y < π	y = arccos(x) khi và chỉ khi x = cos(y)
-π/2 < y < π/2	y = arctan(x) khi và chỉ khi x = tan(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0	y = arccot(x) khi và chỉ khi x = cot(y)
0 < y < π và y ≠ π/2	y = arcsec(x) khi và chỉ khi x = sec(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0	y = arccsc(x) khi và chỉ khi x = csc(y)

Các hàm nghịch ngợm hòn đảo rất có thể được ký hiệu là sin⁻¹ hoặc cos⁻¹ thay cho mang đến arcsin và arccos. Việc người sử dụng ký hiệu nón rất có thể tạo nên lầm lẫn với hàm nón của dung lượng giác.

Các dung lượng giác nghịch ngợm hòn đảo cũng rất có thể được khái niệm bởi vì chuỗi vô hạn: