Lượng giác

Bách khoa toàn thư phanh Wikipedia

Lượng giác

Khái quát Lịch sử Ứng dụng Hàm Hàm ngược
Tham khảo
Đẳng thức Giá trị quánh biệt Bảng Đường tròn trặn đơn vị
Định lý
Sin Cos Tang Cotang Pythagoras
Vi tích phân
Phép thế lượng giác Tích phân Hàm nghịch ngợm đảo Đạo hàm
x t s

Trong toán học tập, lượng giác (tiếng Anh: trigonometry, lấy nguyên vẹn gốc kể từ giờ Hy Lạp cổ điển của nhì kể từ τρίγωνον tức thị "tam giác" và μέτρον tức thị "đo lường")^[1] là 1 trong những phân nhánh phân tích về quan hệ về phỏng lâu năm những cạnh với số đo những góc của một tam giác. Mảng phân tích này chính thức kể từ thế kỉ loại 3 trước Công nguyên vẹn với thời kỳ Hy Lạp hóa như là 1 trong những phần mềm của ngành hình học tập cho những phân tích thiên văn học tập Khi cơ. Những người Hy Lạp Khi cơ triệu tập nhập việc đo lường và tính toán phỏng lâu năm những thừng cung, trong những khi những căn nhà toán học tập đè Độ đang được đưa đến phiên bạn dạng sớm nhất có thể của một độ quý hiếm lượng giác.^[2]

Xuyên trong cả lịch sử hào hùng, lượng giác được phần mềm trong vô số nhiều phân ngành không giống nhau như trắc địa, tham khảo kiến tạo, cơ học tập thiên thể và kim chỉ nan.^[3]

Lượng giác cũng khá được biết cho tới vì như thế thật nhiều đẳng thức lượng giác,^[4]^[5] thông thường được dùng nhằm rất có thể viết lách lại những biểu thức lượng giác thông thường được mang lại trước nhằm mục tiêu hoặc giản dị và đơn giản hóa, hoặc fake về dạng quan trọng hoặc nhằm giải phương trình.^[6]

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Nguồn gốc của lượng giác được nhìn thấy trong số nền văn minh của những người Ai Cập, Babylon và nền văn minh lưu vực sông đè cổ điển kể từ bên trên 3000 năm vừa qua. Các căn nhà toán học tập đè Độ cổ điển là những người dân tiền phong trong các việc dùng đo lường và tính toán những ẩn số đại số nhằm dùng trong số đo lường và tính toán thiên văn vì như thế lượng giác. Lagadha là căn nhà toán học tập có một không hai tuy nhiên thời nay người tớ biết đang được dùng hình học tập và lượng giác nhập đo lường và tính toán thiên văn học tập nhập cuốn sách của ông Vedanga Jyotisha, phần rộng lớn những công trình xây dựng của ông đã biết thành tàn phá Khi đè Độ bị người quốc tế xâm lăng.

Nhà toán học tập Hy Lạp Hipparchus vào thời gian năm 150 TCN đang được biên soạn bảng lượng giác nhằm giải những tam giác.

Một căn nhà toán học tập Hy Lạp không giống, Ptolemy vào thời gian năm 100 đang được trở nên tân tiến những đo lường và tính toán lượng giác xa thẳm hơn thế nữa.

Nhà toán học tập người Silesia là Bartholemaeus Pitiscus đang được xuất bạn dạng công trình xây dựng đem tác động cho tới lượng giác năm 1595 tương tự trình làng thuật ngữ này sang trọng giờ Anh và giờ Pháp.

Một số căn nhà toán học tập nhận định rằng lượng giác nguyên vẹn thủy được nghĩ về đi ra nhằm đo lường và tính toán những đồng hồ đeo tay mặt mũi trời, là 1 trong những bài xích luyện truyền thống lâu đời trong số cuốn sách cổ về toán học tập. Nó cũng tương đối cần thiết nhập đo lường.

Lượng giác ngày nay[sửa | sửa mã nguồn]

Có nhiều phần mềm của lượng giác. Cụ thể có thể nói rằng cho tới như thể nghệ thuật của luật lệ đo lường tam giác được dùng nhập thiên văn nhằm đo khoảng cách cho tới những ngôi sao sáng ngay gần, nhập địa lý nhằm đo khoảng cách trong những mốc giới hoặc trong số khối hệ thống hoa tiêu xài vệ tinh ranh. Các nghành không giống đem dùng lượng giác còn tồn tại thiên văn (và vì vậy là cả hoa tiêu xài bên trên biển, nhập ngành sản phẩm ko và nhập vũ trụ), lý thuyết âm thanh, âm học tập, quang đãng học tập, phân tách thị ngôi trường tài chủ yếu, năng lượng điện tử học tập, lý thuyết phần trăm, đo đếm, sinh học tập, chiếu chụp hắn học tập (các loại chụp rời lớp và siêu âm), dược khoa, chất hóa học, lý thuyết số (và vì vậy là mật mã học), động đất học tập, khí tượng học tập, hải dương học tập và nhiều nghành của vật lý cơ, đo lường khu đất đai và địa hình, phong cách xây dựng, ngữ âm học tập, kinh tế tài chính học tập, khoa công trình xây dựng về năng lượng điện, cơ khí, kiến tạo, hình họa PC, bạn dạng loại học tập, tinh ranh thể học tập v.v.

Mô hình văn minh trừu tượng hóa của lượng giác- lượng giác hữu tỷ, bao hàm những định nghĩa "bình phương sin của góc" và "bình phương khoảng chừng cách" chứ không góc và phỏng lâu năm - đang được TS Norman Wildberger ở ngôi trường ĐH tổ hợp New South Wales nghĩ về đi ra.

Về lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]

Hai tam giác được xem là đồng dạng nếu như 1 trong các nhì tam giác rất có thể nhận được nhờ việc không ngừng mở rộng (hay thu hẹp) đồng thời toàn bộ những cạnh tam giác cơ theo dõi nằm trong tỷ trọng. Vấn đề này chỉ rất có thể xẩy ra Khi và chỉ Khi những góc ứng của bọn chúng đều bằng nhau, ví dụ nhì tam giác Khi xếp lên nhau thì mang 1 góc đều bằng nhau và cạnh đối của góc đang được mang lại tuy vậy song cùng nhau. Yếu tố ra quyết định về sự việc đồng dạng của tam giác là phỏng lâu năm những cạnh của bọn chúng tỷ trọng thuận hoặc những góc ứng của bọn chúng nên đều bằng nhau. Điều cơ Tức là Khi nhì tam giác là đồng dạng và cạnh lâu năm nhất của một tam giác rộng lớn cấp gấp đôi cạnh lâu năm nhất của tam giác cơ thì cạnh nhanh nhất của tam giác loại nhất cũng rộng lớn cấp gấp đôi đối với cạnh nhanh nhất của tam giác loại nhì và tương tự động như thế mang lại cặp cạnh còn sót lại. Dường như, những tỷ trọng phỏng lâu năm những cặp cạnh của một tam giác tiếp tục vì như thế những tỷ trọng phỏng lâu năm của những cặp cạnh ứng của tam giác còn sót lại. Cạnh lâu năm nhất của ngẫu nhiên tam giác nào là được xem là cạnh đối của góc lớn số 1.

Sử dụng những nguyên tố đang được trình bày bên trên trên đây, người tớ khái niệm những hàm lượng giác, phụ thuộc vào tam giác vuông, là tam giác mang 1 góc vì như thế 90 phỏng hoặc π/2 (radian), tức tam giác đem góc vuông.

Do tổng những góc nhập một tam giác là 180 ° hoặc π radian, nên góc lớn số 1 của tam giác vuông là góc vuông. Cạnh lâu năm nhất của tam giác như vậy được xem là cạnh đối của góc vuông và người tớ gọi nó là cạnh huyền.

Lấy 2 tam giác vuông đem cộng đồng nhau một góc loại nhì A. Các tam giác này là đồng dạng, vì vậy tỷ trọng của cạnh đối, a, của góc A đối với cạnh huyền, h, là như nhau cho tất cả nhì tam giác. Nó được xem là một số trong những ở trong tầm kể từ 0 cho tới 1 và nó chỉ tùy theo chủ yếu góc A; người tớ gọi nó là sin của góc A và viết lách nó là sin (A) hoặc sin A. Tương tự động, người tớ cũng khái niệm cosin của góc A như thể tỷ trọng của cạnh kề, b, của góc A đối với cạnh huyền, h, và viết lách nó là cos (A) hoặc cos A.

Đây là những hàm số cần thiết nhất nhập lượng giác; những hàm số không giống rất có thể được khái niệm Theo phong cách lấy tỷ trọng của những cạnh còn sót lại của tam giác vuông tuy nhiên bọn chúng rất có thể màn trình diễn được theo dõi sin và cosin. Đó là những hàm số như tang, sec, cotang và cosec.

Các dung lượng giác như bên trên đang được trình bày đang được khái niệm cho những góc ở trong tầm kể từ 0 cho tới 90 ° (0 cho tới π/2 radian). Sử dụng định nghĩa vectơ mang lại đường tròn trặn đơn vị, người tớ rất có thể không ngừng mở rộng bọn chúng để sở hữu những đối số âm và dương (xem tăng dung lượng giác).

Xem thêm: nghiệm của phương trình sin x

Khi những hàm sin và cosin đang được lập trở thành bảng (hoặc đo lường và tính toán sử dụng máy tính hoặc PC tay) thì người tớ rất có thể vấn đáp gần như là từng thắc mắc về những tam giác ngẫu nhiên, dùng những quy tắc sin hoặc quy tắc cosin. Các quy tắc này rất có thể được dùng nhằm đo lường và tính toán những góc và cạnh còn sót lại của tam giác ngẫu nhiên lúc biết 1 trong các phụ thân nguyên tố sau:

Độ rộng lớn của nhì cạnh và góc kề của chúng
Độ rộng lớn của một cạnh và nhì góc
Độ rộng lớn của tất cả phụ thân cạnh.

Các ấn định lý thông thường gặp[sửa | sửa mã nguồn]

Trong những công thức sau đây, A, B, C là những góc của tam giác và a, b, c là chiều lâu năm những cạnh đối lập với những góc ứng (xem hình vẽ).

Định lý sin[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý sin so với một tam giác bất kỳ:

với R là nửa đường kính đàng tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác:

Một ấn định lý không giống tương quan cho tới hàm sin rất có thể dùng làm đo lường và tính toán diện tích S tam giác. Cho chiều lâu năm nhì cạnh a và b và góc thân thiết nhì cạnh là C, diện tích S của tam giác được xem như sau:

Tất cả những dung lượng giác của góc θ rất có thể được dựng nhập một đàng tròn trặn tâm O.

Định lý cos[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý cos hoặc ấn định lý cosin là 1 trong những dạng không ngừng mở rộng của ấn định lý Pytago cho 1 tam giác bất kỳ:

hoặc:

Định lý cosin rất có thể được dùng làm chứng tỏ công thức tính diện tích S của Heron. Một tam giác ngẫu nhiên đem chiều lâu năm những cạnh là a, b, và c, và nếu như nửa chu vi là

thì diện tích S của tam giác được xem như sau:

Định lý tang[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý tang được viết lách bên dưới dạng công thức như sau:

Công thức Euler[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức Euler, , rất có thể được màn trình diễn theo dõi những hàm sin, cos, và tang theo dõi số e và đơn vị chức năng ảo i như sau:

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

^ “trigonometry | Etymology, origin and meaning of trigonometry by etymonline”. www.etymonline.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 29 mon 11 năm 2022.
^ Boyer, Carl B. (1991). A history of mathematics. Uta C. Merzbach . New York: Wiley. ISBN 0-471-54397-7. OCLC 23823042.
^ Charles William Hackley (1853). A treatise on trigonometry, plane and spherical: with its application đồ sộ navigation and surveying, nautical and practical astronomy and geodesy, with logarithmic, trigonometrical, and nautical tables. G. Phường. Putnam.
^ Sterling, Mary Jane (2014). Trigonometry for dummies (ấn bạn dạng 2). Hoboken, NJ. ISBN 978-1-118-82741-3. OCLC 868079546.
^ Halmos, Paul R. (1985). I want đồ sộ be a mathematician : an automathography. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-1084-9. OCLC 755199114.
^ Larson, Ron (2007). Trigonometry. Robert Phường. Hostetler, Houghton Mifflin Company . Boston. ISBN 0-618-64333-8. OCLC 70221631.