nguyên hàm u

Nguyên hàm là một trong những trong mỗi chuyên mục cần thiết của Giải tích Toán 12 và thông thường xuất hiện nay nhiều trong số kì thi đua ĐH. Vậy với những công thức nguyên vẹn hàm cần thiết này cần thiết nhớ? Team Marathon Education sẽ hỗ trợ những em trả lời và dò la làm rõ rộng lớn về bảng công thức nguyên vẹn hàm kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên và cách thức giải bài xích tập luyện nguyên vẹn hàm thông dụng qua quýt nội dung bài viết tiếp sau đây.

>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Hướng Dẫn Giải Bài Tập

Bạn đang xem: nguyên hàm u

Nguyên hàm là gì?

Trước Lúc, chuồn thâm thúy vô dò la hiểu công thức về nguyên vẹn hàm, những em cần thiết nắm rõ định nghĩa nguyên vẹn hàm cũng giống như những đặc thù và toan lý tương quan.

Định nghĩa nguyên vẹn hàm

Cho hàm số f(x) xác lập bên trên K, thời điểm hiện nay hàm số F(x) được gọi là nguyên vẹn hàm của hàm số f(x) bên trên K nếu như F’(x) = f(x) (với từng x ∊ K, K hoàn toàn có thể là khoảng tầm, đoạn hoặc nửa đoạn bên trên ℝ).

Kí hiệu nguyên vẹn hàm của hàm số f(x) là:

\int f(x)dx=F(x)+C \ \ \ (\forall \ C\in\R)

Định lý nguyên vẹn hàm

3 toan lý của nguyên vẹn hàm là:

  • Định lý 1: Giả sử F(x) là một trong những nguyên vẹn hàm của f(x) bên trên K. Khi cơ, với từng hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một trong những nguyên vẹn hàm của f(x).
  • Định lý 2: Trên K, nếu như F(x) là một trong những nguyên vẹn hàm của hàm số f(x) thì từng nguyên vẹn hàm của f(x) bên trên K đều phải có dạng F(x) + C, với C là một trong những hằng số tùy ý. 
  • Định lý 3: Trên K, toàn bộ hàm số f(x) liên tiếp đều phải có nguyên vẹn hàm.

Tính hóa học nguyên vẹn hàm

 3 đặc thù cơ bạn dạng của nguyên vẹn hàm được thể hiện nay như sau: 

\begin{aligned}
&\footnotesize\bull\text{Nếu f(x) là hàm số với nguyên vẹn hàm thi: }(\smallint f(x)dx)'=f(x)\ \text{và }\\ 
&\footnotesize\smallint f'(x)dx=f(x) +C.\\
&\footnotesize\bull\text{Nếu F(x) với đạo hàm thì }\smallint d(F(x))=F(x)+C.\\
&\footnotesize\bull\text{Tích của nguyên vẹn hàm với k là hằng số không giống 0: }\smallint kf(x)dx=k\smallint f(x)dx.\\
&\footnotesize\bull\text{Tổng, hiệu của nguyên vẹn hàm: }\smallint [f(x)\pm g(x)]=\smallint f(x)dx\pm \smallint g(x)dx
\end{aligned}

Bảng công thức nguyên vẹn hàm cơ bạn dạng, không ngừng mở rộng và nâng cao

Mỗi dạng nguyên vẹn hàm đều phải có những công thức riêng rẽ. Những công thức này và được tổ hợp trở thành những bảng tiếp sau đây nhằm những em đơn giản và dễ dàng phân loại, ghi lưu giữ và vận dụng đúng mực.

Bảng công thức nguyên vẹn hàm cơ bản

Bảng công thức nguyên vẹn hàm cơ bản

Bảng công thức nguyên vẹn hàm cởi rộng

Bảng công thức nguyên vẹn hàm cởi rộng

Bảng công thức nguyên vẹn hàm nâng cao

Bảng công thức nguyên vẹn hàm nâng cao

Bảng nguyên vẹn hàm hàm con số giác

Bảng nguyên vẹn hàm hàm con số giác

2 cách thức giải bài xích tập luyện nguyên vẹn hàm phổ biến

Phương pháp thay đổi vươn lên là số

Đây là cách thức được dùng thật nhiều Lúc hương nguyên hàm. Vì vậy, những em rất cần được nắm rõ cách thức này nhằm giải những vấn đề nguyên vẹn hàm thời gian nhanh và đúng mực rộng lớn.

Phương pháp thay đổi vươn lên là loại 1:

Cho hàm số u = u(x) với đạo hàm liên tiếp bên trên K, nó = f(u) liên tiếp nhằm f[u(x)] xác lập bên trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:

 ∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C

Cách giải: 

Đầu tiên, lựa chọn t = φ(x) và tính vi phân nhị vế: dt = φ'(t)dt.

Sau cơ, biến hóa biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp thay đổi vươn lên là loại 2: Khi đề bài xích mang đến hàm số f(x) liên tiếp bên trên K và x = φ(t) là một trong những hàm số xác lập, liên tiếp bên trên K và với đạo hàm là φ'(t). Lúc này: 

∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt

Cách giải:

Đầu tiên, lựa chọn x = φ(t) và lấy vi phân nhị vế: dx = φ'(t)dt.

Thực hiện nay vươn lên là đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp nguyên vẹn hàm từng phần

Phương pháp chung

Định lý: Nếu nhị hàm số u(x) và v(x) với đạo hàm liên tiếp bên trên K thì: 

\small \smallint u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\smallint v(x)u'(x)dx\ \text{hay} \ \smallint udv=uv-\smallint vdu\\ (\text{với }du=u'(x)dx, \ dv=v'(x)dx)

Cách giải: 

Trước không còn, những em cần thiết biến hóa tích phân trước tiên về dạng:

I=\int f(x)dx=\int f_1(x)f_2(x)dx

Tiếp theo đuổi, đặt: 

\begin{cases}u=f_1(x)\\dv=f_2(x)\end{cases}
\implies \begin{cases}du=f'_1(x)dx\\v=\int f_2(x)dx\end{cases}

Lúc này thì những em tiếp tục có:

\smallint udv=uv-\smallint vdu

Tùy nằm trong vào cụ thể từng dạng toán ví dụ tuy nhiên những em vận dụng cách thức sao mang đến tương thích.

Các dạng nguyên vẹn hàm từng phần thông thường gặp

Dạng 1:

Các dạng nguyên vẹn hàm từng phần thông thường bắt gặp dạng 1

Dạng 2:

Các dạng nguyên vẹn hàm từng phần thông thường bắt gặp dạng 2

Dạng 3:

Các dạng nguyên vẹn hàm từng phần thông thường bắt gặp dạng 3

>>> Xem thêm: Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần Và Công Thức Tính Chi Tiết Nhất

chương trình học tập thử

Bài tập luyện về công thức nguyên vẹn hàm

Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

a. Hãy nêu khái niệm nguyên vẹn hàm của hàm số mang đến trước f(x) bên trên một khoảng tầm.

b. Phương pháp tính nguyên vẹn hàm từng phần là gì? Đưa đi ra ví dụ minh họa mang đến phương pháp tính đang được nêu.

Hướng dẫn giải bài xích tập:

a. Xét hàm số nó = f(x) xác lập bên trên tập luyện xác lập D.

Hàm số Y = F(x) được gọi là nguyên vẹn hàm của hàm số nó = f(x) bên trên D Lúc Y = F(x) vừa lòng ĐK F'(x) = f(x) ∀ x ∈ D.

Xem thêm: one piece tap 1044

b.

Phương pháp tính nguyên vẹn hàm từng phần được khái niệm như sau:

Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) với đạo hàm liên tiếp bên trên D, Lúc cơ tớ với công thức:

∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u’(x)dx hoặc ∫udv = uv – ∫vdv

Ví dụ minh họa: Tính nguyên vẹn hàm của hàm số A = ∫xexdx

Lời giải:

\begin{aligned}
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u=x
\\
dv=e^xdx
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
du=dx
\\
v=e^x
\end{cases}
\\
& \small \text{Khi cơ, } A = \smallint xe^xdx = xe^x - \smallint e^xdx = xe^x - e^x + C
\end{aligned}

Bài 2 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài: 

a. Nêu khái niệm tích phân hàm số f(x) bên trên đoạn [a;b]

b. Tính hóa học của tích phân là gì? Nêu ví dụ ví dụ.

Hướng dẫn giải bài xích tập:

a. Xét hàm số nó = f(x) liên tiếp bên trên [a; b], gọi F(x) là nguyên vẹn hàm của f(x) bên trên [a;b]

Khi cơ, tích phân cần thiết dò la là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:

I = \intop_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

b. Tính hóa học của tích phân:

\begin{aligned}
&\intop^a_bf(x)dx=0\\
&\intop^b_af(x)dx=-\intop^a_bf(x)dx\\
&\intop^b_akf(x)dx=k\intop^b_af(x)dx\\
&\intop^b_a{[f(x)\pm g(x)]}dx = \intop^b_a{f(x)dx}\pm \intop^b_a{g(x)dx}\\
&\intop^b_af(x)dx=\intop^c_af(x)dx+\intop^b_cf(x)dx
\end{aligned}

Bài 3 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

Tìm nguyên vẹn hàm của những hàm số đang được mang đến bên dưới đây:

\begin{aligned}
&a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\\
&b. f(x)=sin(4x).cos^2(2x)\\
&c. f(x)=\frac{1}{1-x^2}\\
&d. f(x)=(e^x-1)^3
\end{aligned}

Hướng dẫn giải bài xích tập:

a. Ta có:

(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1

Suy ra

\begin{aligned}
\small\int(x-1)(1-2x)(1-3x)dx&\small=\int(6x^3-11x^2+6x-1)dx\\
&\small =\frac{3}{2}x^4-\frac{11}{3}x^3+3x^2-x+C
\end{aligned}

b. Ta có:

\begin{aligned}
\small sin(4x).cos^2(2x)&=\frac{1}{2}sin4x.cos4x+\frac{1}{2}sin4x\\&=\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x
\end{aligned}

Suy ra:

\small \int(\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x)dx=-\frac{cos8x}{32}-\frac{cos4x}{8}+C

c. Ta có:

\begin{aligned}
\small f(x)&=\small \frac{1}{1-x^2}\\
&=\small \frac{1}{(1-x)(1+x)}\\ 
&=\small \frac{1}{2}.\frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)}\\
&=\small \frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x}
\end{aligned}

Suy ra:

\begin{aligned}
\int f(x)dx&=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \\
&=\frac{1}{2}(ln|1+x|+ln|1-x|)+C\\
&=\frac{1}{2}ln\big|(1+x)(1-x)\big|+C\
\end{aligned}

d. Với bài xích tập luyện này, những em hoàn toàn có thể tuân theo cơ hội giải thường thì là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi vận dụng tính nguyên vẹn hàm mang đến từng hàm nhỏ. Hoặc những em còn hoàn toàn có thể dùng cơ hội bịa đặt ẩn phụ nhằm giải dò la nguyên vẹn hàm như sau: 

Đặt\ t=e^x \implies dt=e^x.dx=t.dx \implies \frac{dt}{t}=dx

Ta có:

\begin{aligned}
\int f(x)dx&=\int(e^x-1)^3dx\\
&=\int \frac{(t-1)^3}{t}dt\\
&=\int \left(t^2-3t+3-\frac{1}{t}\right)dt\\
&=\frac{1}{3}t^3-\frac{3}{2}t^2+3t-ln|t|+C\\
&=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-ln|e^x|+C\\
&=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-x+C'\\
&(Với\ C' = C-1)
\end{aligned}

Bài 4 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài: 

Tính một trong những nguyên vẹn hàm sau:

\begin{aligned}
&a)\int(2-x).sinxdx\\
&b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\
&c) \int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\
&d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\
&e)\int\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\\
&f)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)dx}
\end{aligned}

Hướng dẫn giải bài xích tập:

\begin{aligned}
&\text{a) Đặt} \begin{cases}u=2-x\\dv=sinxdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=-dx\\v=-cosx\end{cases}\\
&\text{Theo công thức tính tích phân từng phần:}\\
&\int(2-x)sinxdx\\
&=(2-x)(-cosx)-\int cosxdx\\
&=(x-2)cosx-sinx +C\\
&b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(x^2+2x+1}{\sqrt{x}}dx\\
&=\int (x^\frac{3}{2}+2x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2})dx\\
&=\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}+2.\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+2.x^\frac{1}{2}+C\\
&=\sqrt{x}(\frac{2}{5}x^2+\frac{4}{3}x+2)+C\\
&c)\int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\
&=\int\frac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^x+1}\\
&=\int (e^{2x}-e^x+1)dx\\
&=\frac{1}{2}e^{2x}-e^x+x +C\\
&d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\
&=\int\frac{1}{[\sqrt{2}.cos(x-\frac{\pi}{4})]^2}dx\\
&=\int\frac{1}{2.cos^2(x-\frac{\pi}{4})}dx\\
&=\frac{1}{2}.tan(x-\frac{\pi}{4})+C\\
&e) \int\frac{1}{\sqrt{1+x} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})(\sqrt{x+1} +\sqrt{x})}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})dx\\
&=\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} +C\\
&=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\\
&g)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\\
&=\int\frac{1+x+2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\
&=\int\frac{1+x}{3(1+x)(2-x)}dx+\int\frac{2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\
&=\frac{1}{3}\int\frac{1}{2-x}dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+x}dx\\
&=-\frac{1}{3}ln|2-x|+\frac{1}{3}ln|1+x|+C\\
&=\frac{1}{3}ln\big |\frac{1+x}{2-x}\big|+C
\end{aligned}

Đề trung học phổ thông Chuyên KHTN Lần 4

Đề bài:

Cho những số nguyên vẹn a và b thỏa mãn

\begin{aligned}
& \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx = a +\frac32 + lnb
\end{aligned}

Hãy tính tổng Phường = a + b

Hướng dẫn giải bài xích tập:

\begin{aligned}
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u=lnx
\\
dv=(2x+1)dx
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
du=\frac1xdx
\\
v=x^2 +x
\end{cases}
\\
& \small \text{Khi cơ, } 
\\
& \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx
\\
& \small = (x^2 + x)lnx \left. \right|^2_1 - \intop_2^1 (x^2 + x).\frac1xdx
\\
& \small = 6ln2 - \intop_2^1 (x + 1)dx
\\
& \small = 6ln2 - \left.\left( \frac{x^2}{2} + x \right) \right|^2_1
\\
& \small = 6ln2 - (4 - \frac32)
\\
& \small = -4 + \frac32 + ln64
\\
& \small \text{Vậy a = -4 và b = 64. Lúc cơ. Phường = a + b = 60.} 
\end{aligned}

Đề thi đua demo Sở Giáo Dục Bình Thuận

Đề bài:

Cho hàm số F(x) là nguyên vẹn hàm của hàm số f(x). Khi biết F(3) = 3, hãy tính tích phân:

Hướng dẫn giải bài xích tập:

Đối với dạng bài xích nâng lên này, những em tiếp tục phối hợp 2 cách thức là tích phân hàm ẩn (đặt ẩn phụ) và tích phân từng phần.

Xem thêm: con gai chi hang tap 22

\begin{aligned}
& \small \text{Đặt n = x + 1, Lúc đó: }
\\
& \small K = \intop_0^3 xf(x)dx
\\
& \small = \intop_{-1}^2 F(x+1)d(x+1)
\\
& \small = \intop_3^0 F(n)dn
\\
& \small =1
\\
& \small \text{Kế tiếp, tớ bịa đặt }
\begin{cases}
u=x
\\
dv=f(x)dx
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
du=dx
\\
v=F(x)
\end{cases}
\\
& \small \text{Lúc đó: }
\\
& \small K = \intop_0^1xf(x)dx = \left.xF(x)\right|_0^3 - \intop_0^3F(x)dx = 3F(3) - 1 = 8
\end{aligned}

Tham khảo tức thì những khoá học tập online của Marathon Education

Qua nội dung bài viết bên trên, Team Marathon Education đang được share cho tới những em lý thuyết cơ bạn dạng về nguyên vẹn hàm, bàng nguyên vẹn hàm cơ bạn dạng và không ngừng mở rộng và những công thức nguyên vẹn hàm cần thiết nắm rõ. Hy vọng nội dung bài viết sẽ hỗ trợ những em ghi nhỡ những công thức nguyên vẹn hàm này một cơ hội hiệu suất cao và hùn áp dụng bọn chúng nhằm giải bài xích tập luyện một cơ hội nhanh gọn lẹ. 

Hãy tương tác tức thì với Marathon sẽ được tư vấn nếu như những em mong muốn học online nâng lên kỹ năng và kiến thức nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong số bài xích đánh giá và kỳ thi đua chuẩn bị tới!