Sinus und Kosinus, Tangens und Kotangens — Theoretisches Material. Mathematik, 9. Schulstufe.

Theorie:

Wenn der Punkt $M$ des Einheitskreises dem Winkel $t$ entspricht, nennt man

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die Abszisse ($x$-Koordinate) des Punktes $M$ Kosinus der Zahl $t$ ($cos t$),

und die Ordinate ($y$-Koordinate) des Punktes $M$ heißt Sinus der Zahl $t$ ($sin t$).

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Anders formuliert:

Für jeden Punkt $M(x,y)$ auf dem Einheitskreis, der dem Winkel $t$ entspricht, gilt

$\begin{array}{l} x = \cos t \\ y = \sin t . \end{array}$

Da die Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis immer zwischen $-1$ und $1$ liegen, gilt auch:

$\begin{array}{l} - 1 \leq \cos t \leq 1 \\ - 1 \leq \sin t \leq 1 \end{array}$

Das Verhältnis des Sinus der Zahl $t$ zum Kosinus derselben Zahl heißt Tangens der Zahl $t$ und wird als $tan$ bezeichnet.

Das Verhältnis des Kosinus der Zahl $t$ zum Sinus derselben Zahl heißt Kotangens der Zahl $t$ und wird als $cot$ bezeichnet.

Also: $\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}; \cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$

Aus der Gleichung des Einheitskreises $x^{2} + y^{2} = 1$ , indem $x$ und $y$ durch $cos t$ und $sin t$ ersetzt

werden, ergibt sich die Gleichung $\cos^{2} t + \sin^{2} t = 1$ .

Wichtige Eigenschaften des Sinus, des Kosinus, des Tangens und des Kotangens:

1. Für jeden beliebigen Wert $t$ gilt:

$\begin{array}{l} \sin (- t) = - \sin t; \\ \cos (- t) = \cos t; \\ \tan (- t) = - \tan t; \\ \cot (- t) = - \cot t . \end{array}$

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2. Für jeden beliebigen Wert $t$ gilt:

$\begin{array}{l} \sin (t + 2 π k) = \sin t \\ \cos (t + 2 π k) = \cos t \end{array}$

3. Für jeden beliebigen Wert $t$ gilt:

$\begin{array}{l} \sin (t + π) = - \sin t; \\ \cos (t + π) = - \cos t; \\ \tan (t + π) = \tan t; \\ \cot (t + π) = \cot t . \end{array}$

Die Sinus- und die Kosinusfunktion sind also periodisch mit Periode $2\pi$, die Tangens- und Cotangensfunktion mit Periode $\pi$:

$\begin{array}{l} \sin (t + 2n π) = \sin (t), \\ \cos (t + 2n π) = \cos (t), \\ \tan (t + n π) = \tan t; \\ \cot (t + n π) = \cot t . \end{array}$

$\forall n \in$ $ℤ$ .

4. Für jeden beliebigen Wert $t$ gilt:

$\begin{array}{l} \sin (t + \frac{π}{2}) = \cos t; \\ \cos (t + \frac{π}{2}) = - \sin t . \end{array}$

Während die Sinus- und Kosinusfunktion grafisch den $x$- bzw. $y$-Koordinaten des Punktes auf dem Einheitskreis entsprechen, wird zur Veranschaulichung der Tangens- und Cotangensfunktion je eine zusätzliche Achse gezogen.

Zuerst wird in der Koordinatenfläche eine Tangente sánh gezogen, dass sie den Einheitskreis lặng Punkt $(1,0)$ berührt. Auf dieser Tangente lässt sich der Tangens eines Winkels ablesen, indem (wie in der untenstehenden Abbildung) der Winkelschenkel verlängert und zum Schnitt gebracht wird.

Diese Tangente wird auch Tangenslinie genannt.