Số tam giác

Bách khoa toàn thư hé Wikipedia

Số tam giác là số bất ngờ có mức giá trị tự tổng những số điểm chấm xuất hiện nay nhập một tam giác đều được bố trí tự những điểm tương tự động hình bên; số tam giác loại n có mức giá trị tự tổng những số bất ngờ từ là 1 cho tới n

Trong cơ, là tổng hợp chập 2 của n+1.

Có thể coi phía trên như thể số hạng của công thức, từng số tam giác là thông số kép: Số tam giác loại n là một trong những của việc ghép cặp được lựa lựa chọn kể từ n+1 đối tượng người sử dụng. Trong dạng này giải quyết và xử lý yếu tố hợp tác của việc kiểm điểm số phen hợp tác của từng người nhập 1 căn chống kín chứa chấp n+1 người, này là tổng số phen hợp tác 1 phen với từng người không giống.

Chuỗi số tam giác (dãy số A000217 nhập bảng OEIS) cho tới n = 1, 2, 3... là: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...

Quan hệ với những số hình học tập khác[sửa | sửa mã nguồn]

Số tam giác với mối quan hệ vô cùng rộng lớn với những loại Số hình học tập không giống. Đơn giản nhất là tổng của 2 số tam giác liên tục là một trong những chủ yếu phương. Về mặt mày đại số,

Một sự lựa lựa chọn, những số tương tự vậy rất có thể màn trình diễn tự đồ gia dụng hoạ:

Có vô số số tam giác mặt khác là số chủ yếu phương; Ví dụ: 1, 36, 1225, 41616.

Một vài ba nhập số bọn chúng rất có thể đột biến kể từ công thức đệ quy đơn giản:

với

Tất cả những số chủ yếu phương tam giác được thám thính rời khỏi kể từ công thức đệ quy:

với và

Cũng vậy bình phương số tam giác được coi như thể tổng lập phương những số bất ngờ từ là 1 cho tới n.

Tổng của n số tam giác thứ nhất là số tứ diện loại n:

Trong cơ, là tổng hợp chập 3 của n+2.

Tổng quát mắng rộng lớn, hiệu số đằm thắm số nhiều giác m cạnh loại n và số nhiều giác m+1 cạnh loại n là số tam giác loại (n-1). Ví dụ: Số thất giác loại 6 (81) trừ Số lục giác loại 6 (66) là số tam giác loại 5, 15.

Những đặc điểm khác[sửa | sửa mã nguồn]

Số tam giác là bậc hạ tầng cơ phiên bản nhất của Công thức Faulhaber

Mọi số hoàn mỹ chẵn đều là số tam giác (Được nhận tự công thức khi là Số thành phần Mersenne). Cho đến giờ chưa tồn tại số hoàn mỹ lẻ nào là được thám thính rời khỏi, vì vậy từng số hoàn mỹ đang được biết đều là số tam giác.

Để lấy ví dụ, số tam giác loại 3 là (3 × 2 =) 6, số loại 7 là (7 × 4 =) 28, số loại 31 là (31 × 16 =) 496, và số loại 127 là (127 × 64 =) 8128.

Chữ số cuối của số tam giác là 0, 1, 3, 5, 6 hoặc 8, Nếu là 3 là chữ số cuối thì trước nó nên là 0 hoặc 5; Nếu 8 là chữ số cuối thì trước nó nên là 2 hoặc 7.

Trong hệ cơ số 10, căn chữ số của số tam giác không giống ko luôn luôn là một, 3, 6 hoặc 9. Do cơ từng số tam giác hoặc phân tách không còn cho tới 3 hoặc dư 1 khi phân tách 9:

0 = 9 × 0

1 = 9 × 0 + 1

3 = 9 × 0 + 3

6 = 9 × 0 + 6

10 = 9 × 1 + 1

15 = 9 × 1 + 6

21 = 9 × 2 + 3

Xem thêm: nghiệm của phương trình sin x

28 = 9 × 3 + 1

36 = 9 × 4

45 = 9 × 5

55 = 9 × 6 + 1

66 = 9 × 7 + 3

78 = 9 × 8 + 6

91 = 9 × 10 + 1

...

Có đặc điểm quan trọng đặc biệt rộng lớn so với những số ko phân tách không còn cho tới 3; Các số cơ hoặc dư 1 hoặc dư 10 khi phân tách 27. Các số nhưng mà tự 10 mod 27 cũng dư 10 khi phân tách 81.

Căn chữ số của số tam giác tái diễn sau từng 9 số như sau "1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9".

Nếu x là số tam giác, thì ax + b cũng chính là số tam giác, nếu như a là số chủ yếu phương lẻ và b = a − 1/8. Để ý rằng b luôn luôn là số tam giác, vì như thế 8T_n + 1 = (2n + 1)², kể từ phía trên tao rất có thể thám thính toàn bộ những số chủ yếu phương lẻ bằng phương pháp nhân số tam giác với 8 rồi nằm trong 1. Một số cặp bên dưới dạng này (không bao hàm 1x + 0) là: 9x + 1, 25x + 3, 49x + 6, 81x + 10, 121x + 15, 169x + 21, ... v.v.. Nếu x tự với T_n, thì những công thức này tiếp tục cho tới T_{3n + 1}, T_{5n + 2}, T_{7n + 3}, T_{9n + 4}, và kế tiếp như thế.

Tổng của những nghịch ngợm hòn đảo của những số tam giác không giống ko là:

Công thức bên trên rất có thể được chứng tỏ bằng phương pháp dùng chuỗi lồng nhau:

Hai công thức không giống tương quan cho tới số tam giác là:

và

cả nhì đều rất có thể chứng tỏ bằng phương pháp để ý hình họa những số tam giác tế bào miêu tả tự điểm (xem trên) hoặc người sử dụng đại số.

Trong 1796, Gauss trừng trị xuất hiện rằng từng số vẹn toàn rất có thể màn trình diễn trở nên tổng của 3 số tam giác (có thể bao hàm T₀ = 0), được viết lách nhập nhật ký của ông như sau: "ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ". Định lý này sẽ không nên 3 số tam giác nên phân biệt (ví dụ như đôi mươi = 10 + 10 + 0) hoặc cả tía số này đều nên không giống ko. Đây là tình huống quan trọng đặc biệt của Định lý số nhiều giác của Fermat.

Số tam giác lớn số 1 bên dưới dạng 2^k − 1 là 4095 (xem phương trình Ramanujan–Nagell).

Wacław Franciszek Sierpiński đang được đề ra thắc mắc về sự việc tồn bên trên của tư số tam giác phân biệt nhập cung cấp số nhân. Bài toán được fake thuyết là bất khả đua lần thứ nhất tự căn nhà toán học tập Kazimierz Szymiczek và về sau được chứng tỏ tự Fang và Chen nhập 2007.^[1]^[2]

Các công thức bao hàm việc màn trình diễn số vẹn toàn trở nên tổng những số tam giác thông thường với quan hệ với những hàm theta, rõ ràng rộng lớn là hàm theta Ramanujan theta.^[3]^[4]

Xem thêm: công thức đạo hàm của hàm hợp