tích vô hướng là gì

Bách khoa toàn thư hé Wikipedia

Đối với tích của vectơ với một vài hoặc với vô phía, coi Phép nhân vô phía.

Bạn đang xem: tích vô hướng là gì

Tích vô phía hình học tập, khái niệm tự góc.

Tích vô hướng (tên giờ đồng hồ Anh: dot product hoặc scalar product) là 1 luật lệ toán đại số lấy nhì chuỗi số có tính lâu năm cân nhau (thường là những vectơ tọa độ) và cho tới sản phẩm là một vài. Trong hình học tập Euclid, tích vô phía với tọa phỏng Descartes của nhì vectơ thông thường được dùng. Tích vô phía cũng thông thường được gọi là tích nhập Euclid mặc dù nó ko cần là loại tích nhập có một không hai rất có thể được khái niệm nhập không khí Euclid (xem thêm thắt bên trên Không gian trá tích trong).

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Tích vô vị trí hướng của nhì vectơ A = [A1, A2,..., An] và B = [B1, B2,..., Bn] được khái niệm như sau:[1]

trong đó Σ là luật lệ lấy tổng và n là số chiều của không khí vectơ.

Ví dụ 1: Trong mặt mày bằng, tích vô vị trí hướng của nhì vectơ [a, b] và [a', b'] là: aa'+bb'

Ví dụ 2: Trong không khí phụ thân chiều, tích vô vị trí hướng của nhì vectơ [a, b, c] và [a', b', c'] là: aa'+bb'+cc'

Định nghĩa hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Trong không gian trá Euclide, một vectơ Euclide là 1 đối tượng người tiêu dùng hình học tập có tính rộng lớn và phía và được màn biểu diễn tự một mũi thương hiệu. Độ rộng lớn của vectơ là chiều lâu năm của vectơ và vị trí hướng của vectơ là phía nhưng mà mũi thương hiệu chỉ cho tới. Độ rộng lớn của vectơ A được ký hiệu là . Tích vô hướng của nhì vectơ Euclide A and B được khái niệm như sau:[2][3]

trong đó θ là góc giữa A và B.

Trường thích hợp quan trọng, nếu A và B trực phó thì góc thân thiết bọn chúng là 90°, tự đó:

Nếu bọn chúng nằm trong phía thì góc thân thiết bọn chúng là 0°, tự đó:

Suy rời khỏi tích vô vị trí hướng của vectơ A và chủ yếu nó là:

ta có:

là khoảng cách Euclid của vectơ, luôn luôn có mức giá trị dương Lúc A không giống 0.

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Cho vectơ A = [A1, A2,..., An] tớ đem

Phép chiếu vô hướng[sửa | sửa mã nguồn]

Phép chiếu vô hướng

Phép chiếu vô hướng của một vectơ Euclide A lên vị trí hướng của vectơ Euclide B là:

trong ê θ là góc giữa A và B.

Theo khái niệm hình học tập, tích vô phía được màn biểu diễn như sau: 

trong đó  là vectơ đơn vị cùng phía với B.

Tính phân phối của tích vô hướng

Tích vô phía được khái niệm theo như hình học tập như sau[4]

Xem thêm: out of this world là gì

Tích vô phía là thuần nhất, tức là với đại lượng vô hướng α, tớ có:

Tích vô phía thỏa mãn nhu cầu luật phân phối:

Từ những sản phẩm bên trên, tớ Kết luận rằng tích vô phía nằm trong dạng tuy nhiên tuyến. Hơn nữa, dạng tuy nhiên tuyến là xác quyết định dương, nghĩa là  không khi nào âm, và tự 0 Lúc và chỉ khi 

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Cho a, b, và c là những vectơ và r là đại lượng vô phía, tích vô phía thỏa mãn nhu cầu những đặc điểm sau:.[1][2]

  1. Giao hoán:
    được suy rời khỏi kể từ khái niệm (θ góc giữa a và b):
  2. Phân phối cho luật lệ nằm trong vectơ:
  3. Dạng tuy nhiên tuyến:
  4. Phép nhân vô hướng:
  5. Không đem tính kết hợp bởi vì thế tích vô phía thân thiết đại lượng vô phía (a ⋅ b) và vectơ (c) ko tồn bên trên, tức là biểu thức cho tới tính kết hợp: (a ⋅ b) ⋅ c or a ⋅ (b ⋅ c) là ko hợp thức.[5][6]
  6. Trực giao:
    Hai vectơ không giống vectơ không: a và b trực phó Lúc và chỉ khi ab = 0.
    Hai vectơ trực phó nhập không khí Euclid còn được gọi là vuông góc.
  7. Không đem tính khử:
    Tính khử được cho phép nhân của những số được khái niệm như sau: nếu
    ab = ac, thì b luôn luôn luôn bằng c nếu a khác 0. Tích vô phía ko tuân bám theo tính khử:
    Nếu ab = ac và a0, thì tớ có: a ⋅ (bc) = 0 theo như luật phân phối; suy ra a trực phó với (bc), tức là (bc) ≠ 0, và dẫn đến bc.
  8. Quy tắc đạo hàm tích: Nếu a và b là hàm số, thì đạo hàm của ab là a′ ⋅ b + ab.

Áp dụng cho tới quyết định lý cos[sửa | sửa mã nguồn]

Tam giác đem cạnh vectơ a and b, và góc thân thiết 2 vectơ là θ.

Hai vectơ a và b có góc thân thiết nhì vectơ là θ (như nhập hình mặt mày phải) tạo nên trở nên một tam giác đem cạnh loại phụ thân là c = ab. Tích vô phía của c và chủ yếu nó là Định lý cos:

Tổng quát lác hóa[sửa | sửa mã nguồn]

Tích trong[sửa | sửa mã nguồn]

Tổng quát lác hoá của định nghĩa tích vô phía là định nghĩa tích nhập. Đó là định nghĩa trừu tượng chuẩn bị cho 1 không khí vectơ H bên trên ngôi trường K (K thông thường là ngôi trường số phức hoặc số thực) nhằm rất có thể thay đổi nó trở nên một không khí tích nhập hoặc tiếp sau đó là không khí Hilbert. Đó là 1 hàm nhì thay đổi thỏa mãn nhu cầu 4 định đề sau:

1. ,

2. ,

3. ,

4. Lúc và chỉ Lúc .

với từng

Đây là định đề hóa nhằm kiến thiết định nghĩa tích vô phía kể từ một vài đặc điểm cơ bạn dạng của tích vô phía thường thì của 2 vectơ hình học tập nhập mặt mày bằng (hay ko gian) nhằm mục đích tế bào mô tả định nghĩa góc (trực giao) của 2 vectơ nhập một không khí vectơ trừu tượng.

Nếu không khí vectơ H được chuẩn bị tự một tích vô phía bên trên ê thì nó phát triển thành không khí quyết định chuẩn chỉnh với chuẩn chỉnh được cho tới tự công thức

Vectơ phức[sửa | sửa mã nguồn]

Đối với những vectơ với bộ phận phức, tích vô phía chi phí chuẩn chỉnh được khái niệm ở bên dưới, với những đặc điểm tuy nhiên tuyến và đối xứng phó hoán phía trên được thay cho tự tính nửa tuyến tính phối hợp và tính đối xứng phối hợp để lưu lại được xem xác lập dương[1][7]

trong ê bộ phận là phối hợp phức của bộ phận . Cũng rất có thể viết lách nó bám theo vectơ fake vị phối hợp (ký hiệu tự chữ nón H):

Xem thêm: phim mũi tên bạc

trong ê những vectơ được viết lách bên dưới dạng vectơ sản phẩm. Ta đem tính xác lập dương, tức là tích vô vị trí hướng của ngẫu nhiên vectơ với chủ yếu nó là một vài thực ko âm, và nó không giống 0 trừ Lúc vectơ này là vectơ ko. Tuy nhiên tích vô phía đó lại là 1 dạng nửa tuyến tính chứ không là 1 dạng tuy nhiên tuyến tính: nó tuyến tính phối hợp chứ không tuyến tính so với a, không chỉ có vậy tích vô phía này ko đối xứng (giao hoán), tự vì

Góc thân thiết nhì vectơ phức được cho tới tự công thức:

Tuy nhiên, loại tích vô phía này rất rất hữu ích, và nó dẫn theo những định nghĩa dạng Hermite và không khí tích nhập tổng quát lác. Tích vô phía với chủ yếu nó của một vectơ phức là 1 sự tổng quát lác hóa của bình phương vô cùng của một vô phía phức.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a b c S. Lipschutz, M. Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (ấn bạn dạng 4). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
  2. ^ a b M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (ấn bạn dạng 2). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.Quản lý CS1: nhiều tên: list người sáng tác (liên kết)
  3. ^ A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications. Richard Silverman biên dịch. Dover. tr. 14.
  4. ^ Arfken, G. B.; Weber, H. J. (2000). Mathematical Methods for Physicists (ấn bạn dạng 5). Boston, MA: Academic Press. tr. 14–15. ISBN 978-0-12-059825-0.
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Dot Product."
  6. ^ A. Bedford; Wallace L. Fowler (2008). Engineering Mechanics: Statics (ấn bạn dạng 5). Prentice Hall. tr. 60. ISBN 978-0-13-612915-8.
  7. ^ Berberian, Sterling K. (2014) [1992], Linear Algebra, Dover, tr. 287, ISBN 978-0-486-78055-9

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Tích vô phía bên trên Từ điển bách khoa Việt Nam