tính tích phân suy rộng

Tích phân suy rộng là 1 trong những trong mỗi kỹ năng và kiến thức Toán nâng cao trong của công tác Toán 12. Đây là lý thuyết cần thiết so với những học viên sở hữu kim chỉ nan bám theo thường xuyên ngành Toán Khi lên ĐH. Để hiểu rộng lớn về những định nghĩa và phương pháp tính tích phân suy rộng, những em hãy bám theo dõi nội dung bài viết tổ hợp được biên soạn kể từ Marathon Education sau đây.

>>> Xem thêm:

Bạn đang xem: tính tích phân suy rộng

  • Các Dạng Toán Tích Phân Hàm Ẩn Và Phương Pháp Giải Chi Tiết
  • Tích Phân Từng Phần Là Gì? Công Thức Và Cách Giải Các Dạng Bài Tập

Định nghĩa tích phân suy rộng

tích phân suy rộng lớn là gì
Tích phân suy rộng lớn là gì? (Nguồn: Internet)

Tích phân suy rộng là số lượng giới hạn của một tích phân xác lập Khi mang lại cận tích phân tiến thủ dần dần cho tới vô nằm trong. Tích phân suy rộng bao hàm 2 loại: tích phân với cận vô hạn (gọi là tích phân suy rộng loại 1) và tích phân của hàm số không biến thành ngăn (tích phân suy rộng loại 2).

Tính hóa học của tích phân suy rộng

1. f khả tích bên trên [a; b] ∀b ≥ a. Khi tê liệt, ∀α ≥ a.

\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ và } \intop_α^{+\infin}f(x)dx \text{ nằm trong quy tụ hoặc nằm trong phân kỳ (Cùng phiên bản chất)}

2. f khả tích bên trên [a; b], ∀b ≥ a. Khi tê liệt, ∀α ≠ 0.

\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ và } \intop_a^{+\infin}αf(x)dx \text{ nằm trong quy tụ hoặc nằm trong phân kỳ (Cùng phiên bản chất)}\\

3. f, g khả tích bên trên [a; b], ∀b ≥ a.

\begin{aligned}
&\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx\text{ và }\intop_a^{+\infin}g(x)f(x)dx \text{ hội tụ}\Rightarrow \intop_a^{+\infin}(f+g)dx  \text{ hội tụ}\\
&\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ quy tụ và }\intop_a^{+\infin}g(x)f(x)dx \text{ phân kỳ} \Rightarrow \intop_a^{+\infin}(f+g)dx \text{ phân kỳ} 
\end{aligned}

Điều khiếu nại nhằm tích phân suy rộng lớn hội tụ

Mỗi loại tích phân suy rộng sẽ sở hữu được những ĐK quy tụ riêng biệt, ví dụ như sau:

Định lý đối chiếu 1

Điều khiếu nại quy tụ của tích phân suy rộng loại 1 được thể hiện tại như sau:

Định nghĩa:

Giả sử f(x) xác lập bên trên luyện [a;+∞) và khả tích bên trên từng đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < +∞

  • Nếu tồn bên trên số lượng giới hạn (có thể là hữu hạn hoặc vô cùng) thì số lượng giới hạn này gọi là tích phân suy rộng lớn của f(x) bên trên [a;+∞).
\lim\limits_{b\to +\infin}\intop_a^bf(x)dx:=\intop_a^{+\infin}f(x)dx
\begin{aligned}
&\footnotesize\bull \text{Nếu số lượng giới hạn này là hữu hạn, tớ suy ra} \textbf{ tích phân suy rộng}\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ là quy tụ.}\\
&\footnotesize\bull \text{Nếu số lượng giới hạn này là vô nằm trong hoặc ko tồn bên trên, tớ suy ra}\textbf{ tích phân suy rộng}\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ là phân kỳ.}
\end{aligned}

Tương tự động, khái niệm tích phân suy rộng của hàm số f(x) không biến thành ngăn bên trên khoảng tầm (a,b] và (a, b) tiếp tục theo lần lượt nhận x = a và x = b thực hiện điểm phi lý. 

\begin{aligned}
&\intop_a^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to a^+}\intop^b_tf(x)dx \text{ và }\intop_a^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to a^+,\ t'\to b^-}\intop_t^{t'}f(x)dx

\end{aligned}

Đối với tích phân sở hữu nhì điểm phi lý x = a, x = b thì tớ rất có thể ghi chép như sau khoản thời gian nhì vô tía tích phân trình bày bên trên hội tụ:

\intop_a^bf(x)dx=\intop_a^cf(x)dx+\intop_c^bf(x)dx

Định lý (tiêu chuẩn chỉnh so sánh sánh):

Cho nhì hàm số g(x) và f(x) ko âm và khả tích bên trên [a,t] với từng t>a. Giả sử tồn bên trên số M sao mang lại f(x) ≤ g(x) với từng x > M. Khi đó:

\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Nếu }\intop_a^{-\infin}g(x)dx \text{ quy tụ thì }\intop_a^{+\infin}f(x)\text{ quy tụ.}\\
&\footnotesize \text{Nếu }\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ phân kỳ thì }\intop_a^{-\infin}g(x)\text{ phân kỳ.}
\end{aligned}

Hệ quả: 

Cho f(x) và g(x) là nhì hàm số dương khả tích bên trên [a,t] với từng t>a. Giả sử:

\lim\limits_{x\to +\infin}\frac{f(x)}{g(x)}=k
\begin{aligned}
&\footnotesize \bull \text{Nếu } 0< k < +\infin \text{ thì }\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ và} \intop_a^{-\infin}g(x)dx \text{ tiếp tục nằm trong quy tụ hoặc nằm trong phân kỳ.}\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu } k=0 \text{ thì tồn bên trên M sao mang lại }f(x) \le c.g(x), \forall x \ge M \text{ (giống với quyết định lý)}.\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu } k=+\infin \text{ thì tồn bên trên M sao mang lại } f(x) \ge c.g(x), \forall x \ge M \text{ (ngược với quyết định lý)}.
\end{aligned}

Định lý đối chiếu 2

Điều khiếu nại quy tụ của tích phân suy rộng loại 2:

Xem thêm: kỳ phùng địch thủ

Định nghĩa:

Cho hàm số f(x) xác lập trong vòng [a,b] và khả tích bên trên [a,t]. Giả sử hàm số f(x) là hàm số xác lập bên trên khoảng tầm [a,b] và khả tích bên trên [a,t] với từng a < t < b, tớ có:

\begin{aligned}
&\footnotesize \bull \text{Nếu tồn bên trên } \lim\limits_{t\to b^-}\intop_a^tf(x)dx \text{ thì số lượng giới hạn này được gọi là}\textbf{ tích phân suy rộng lớn } \text{của hàm số }f(x) \text{ trong vòng }\\
&\footnotesize \text{[a, b] và sở hữu ký hiệu là}\intop_a^bf(x)dx.\\
&\footnotesize \bull \text{Khi tê liệt, tớ cũng bảo rằng tích phân hội tụ: }\intop_a^bf(x)dx:=\lim\limits_{t\to b^-}\intop_a^tf(x)dx.\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu }f(a)=+\infin: \intop_a^bf(x)dx:=\lim\limits_{t\to a^+}\intop_t^bf(x)dx.\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu }f(c)=+\infin\text{ (với }c\in (a;b)): \intop_a^bf(x)dx= \intop_a^cf(x)dx+\intop_c^bf(x)dx
\end{aligned}

Định lý (tiêu chuẩn chỉnh so sánh sánh):

Cho f(x) và g(x) là nhì hàm số ko âm, khả tích bên trên [t; b] với từng t ∈ (a; b] (a là vấn đề bất thường). Giả sử tồn bên trên c ∈ (a; b] sao mang lại f(x) ≤ k.g(x), ∀x ∈ (a; c]. Khi đó:

\begin{aligned}
&\footnotesize \bull \text{Nếu }\intop_a^bg(x)dx \text{ quy tụ thì }\intop_a^bf(x)dx \text{ quy tụ.}\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu }\intop_a^bf(x)dx  \text{ phân kỳ thì }\intop_a^bg(x)dx \text{ phân kỳ.}\\
\end{aligned}

Hệ quả:

Với f(x) và g(x) là nhì hàm số ko âm và khả tích bên trên đoạn [t;b] với từng t ∈ (a;b] (trong tê liệt, a là vấn đề bất thường). Ta fake sử:

\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=k
\begin{aligned}
&\footnotesize \bull \text{Nếu } 0< k < +\infin \text{ thì }\intop_a^bf(x)dx \text{ và} \intop_a^bg(x)dx \text{ tiếp tục nằm trong quy tụ hoặc nằm trong phân kỳ.}\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu } k=0 \text{ thì tồn bên trên c ∈ (a;b] sao mang lại }f(x) \le k.g(x), \forall x ∈ (a;c]\text{ (giống với quyết định lý)}.\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu } k=+\infin \text{ thì tồn bên trên c ∈ (a;b] sao mang lại } f(x) \ge k.g(x), \forall x ∈ (a;c]\text{ (ngược với quyết định lý)}.
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 12 Cực Trị Của Hàm Số Và Phương Pháp Tìm Cực Trị

chương trình học tập thử

Cách tính tích phân suy rộng

Hiện ni sở hữu vô cùng rất nhiều cách tính tích phân suy rộng lớn khác nhau. Một trong mỗi cơ hội được dùng được dùng tối đa đó là luật lệ thay đổi Laplace và Fourier.

Phép thay đổi Laplace và luật lệ thay đổi Fourier

Phép thay đổi Laplace và luật lệ thay đổi Fourier được thể hiện tại qua quýt ví dụ sau:

\text{Tính: }I(x)=\intop_0^{\infin}\frac{1-cosxt}{t^2}dt

Bài giải:

Để giải vấn đề này, tớ vận dụng luật lệ thay đổi Laplace hoặc Fourier mang lại 2 vế và thăm dò hàm gốc của tích phân vừa vặn tìm kiếm ra.

\begin{aligned}
&\bull \ L|I(x)|=\intop_0^\infin e^{-px}\left( \intop_0^\infin\frac{1-cosxt}{t^2}dt\right)dx\\
&=\intop_0^\infin\frac{1}{t^2}\left[ \intop_0^\infin e^{-px}(1-cosxt)dx\right]dt\\
&=\intop_0^\infin\frac{1}{t^2}L(1-cosxt)dt\\
&=\intop_0^\infin\frac{1}{t^2}\Bigg(\frac1p-\frac{p}{p^2+t^2}\Bigg)dt\\
&=\left.\frac{1}{p}arctg\frac{t}{p}\right|_{t=0}^\infin=\frac{\pi}{2p^2}\\
&\bull L^{-1}\Bigg[ \frac{\pi}{2p^2} \Bigg]=\frac{\pi}{2}x\\
&\text{Vậy }I(x)=\frac{\pi}{2}x
\end{aligned}

Khai triển tích phân trở thành chuỗi

Khai triển tích phân trở thành chuỗi thông thường được phần mềm nhiều trong số vấn đề tích phân phức tạp. Việc lựa lựa chọn hàm nhằm xây dựng tiếp tục đưa ra quyết định cho tới việc bài bác giải dành được tối ưu hay là không. Do tê liệt, Khi xây dựng và thiến tích phân của tổng tích phân, tớ cần thiết để ý cho tới những đối tượng người sử dụng chiếm được sở hữu đáp ứng tính quy tụ của tích phân hay là không. Các em rất có thể thấy rõ rệt điều này vô ví dụ bên dưới đây: 

\text{Tính }I=\intop_0^\infin e^{-x}\left(\intop_0^x\frac{e^{-t}-1}{t}dt\right)lnxdx

Bài giải:

Để giải được vấn đề phức tạp này, tớ cần thiết vận dụng nghệ thuật khai triển chuỗi Taylor như sau:

Xem thêm: những chú cừu thông minh phần 3

\begin{aligned}
&I=\intop_0^\infin e^{-x}\left(\intop_0^x\frac{e^{-t}-1}{t}dt\right)lnxdx\\
&=\intop_0^\infin e^{-x}\left(\intop_0^x\frac{\sum\limits_{n=0}^\infin \frac{(-t)^n}{n!}-1}{t}dt\right)lnxdx\\
&=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n}{n!n}\intop_0^\infin e^{-x}\left( \intop_0^xt^{n-1}dt\right)lnxdx\\
&=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n}{n!n}\intop_0^\infin e^{-x}x^nlnxdx\\
&=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n \Gamma'(n+1)}{n!n}\\
&=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n \Psi(n+1)}{n}\\
&\text{Trong đó: } \Gamma(x) \text{ và } \Psi(x) \text{ là những hàm Gamma và PolyGamma.}\\
&\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n \Psi(n+1)}{n}=\gamma ln2+\intop_0^1\frac{-ln2+ln(1+t)}{1-t}dt=\frac{1}{12}(-\pi^2+12\gamma ln2+6ln^22)\\
&\text{Trong đó: } \gamma \text{ là hằng số Euler - Mascheroni.}
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số: Lý Thuyết Và Cách Tìm Đường Tiệm Cận

Tham khảo tức thì những khoá học tập online của Marathon Education

Trên đó là những kỹ năng và kiến thức tương quan cho tới tích phân suy rộng – một trong mỗi kỹ năng và kiến thức nâng lên nên biết vô công tác Toán trung học phổ thông. Trong khi, những em nhớ rằng bám theo dõi trang web Marathon Education nhằm học trực tuyến nhiều kỹ năng và kiến thức Toán – Lý – Hóa hữu ích không giống. Chúc những em tiếp thu kiến thức thiệt chất lượng tốt và luôn luôn đạt điểm trên cao.