www.mathvn.com

Www.mathvn.com cttq-dayso-tran duyson

  • 1. 1 ĐI TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT DÃY SỐ 2 2 ... 2 lim x * ˆn n nu u u 1 1 2 1 2 n n n u TRẦN DUY SƠN Xuân kỷ sửu 2009
  • 2. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 2 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Giới thiệu Dãy số là một trong phần của Đại số hao hao Giải tích toán học tập. Dãy số đóng góp một tầm quan trọng rất rất kì quan trọng vô toán học tập hao hao nhiều nghành nghề của cuộc sống. Trong những kì thi đua HSG vương quốc, IMO (Olympic toán học tập quốc tế), hoặc những kì thi đua giải toán của rất nhiều tập san toán học tập những bài toán về mặt hàng số được xuất hiện nay không ít và được reviews ở tầm mức Mức độ cạnh tranh. Các các bạn học viên cũng đã được sản xuất quen thuộc với mặt hàng số kể từ rất rất sớm, kể từ hồi tè học tập bọn chúng và được thích nghi với những bài bác toán về mặt hàng số như: dò thám quy luật của một mặt hàng số giản dị và đơn giản,… Đây ko nên một giáo trình về lí thuyết mặt hàng số nhưng mà chỉ là một trong chuyên mục nhỏ trình diễn một vấn đề nhỏ vô nghành nghề mặt hàng số. Tập tư liệu này gần như là một nội dung bài viết banh, như 1 cuộc trao đổi, trò thường xuyên, trình diễn tuyến phố đi tìm kiếm công thức tổng quát mắng của một trong những dạng mặt hàng số cơ bạn dạng, từ bại liệt phần mềm nhằm giải một trong những Việc. Do đấy là chuyên mục đầu tay của tôi, nên nội dung hao hao cơ hội trình diễn vô tư liệu này chắc chắn còn nhiều thiếu hụt xót, rất rất hy vọng độc giả cảm thông và với chủ ý góp phần nhằm bài bác viết được hoàn mỹ. Mọi ý kiên góp phần, phản hồi van nài gửi về vị trí hòm thư: [email protected] Trần Duy Sơn Xuân kỷ sửu 2009
  • 3. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 3 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Một số kí hiệu người sử dụng vô tập luyện tài liệu CSN – Cấp số nhân CSC – Cấp số cộng CTTQ – Công thức tổng quát
  • 4. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 4 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Mục lục Trang Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số………………………………………………………... 5 Phương trình sai phân tuyến tính…………………………………………………………. 14 Sử dụng luật lệ thế lượng giác nhằm xác lập CTTQ mặt hàng số………………………………… 16 Các Việc mặt hàng số lựa chọn lọc……………………………………………………………... 18 Bài tập luyện đề nghị……………………………………………………………………………. 20 Tài liệu tham lam khảo………………………………………………………………………... 21
  • 5. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 5 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trong phần này, tôi và những các bạn sẽ cùng với nhau dò thám hiểu và nêu phát minh dò thám CTTQ của một số dạng mặt hàng số bạn dạng. Chúng tao tiếp tục chính thức bởi vì một bài bác tập luyện giản dị và đơn giản vô sách giáo khoa sau: Ví dụ 1: (Bài 45, trang 123, Đại số & Giải tích 11 nâng cao) Cho mặt hàng số( )nu xác lập bởi: 1 2u và 1 1 2 n n u u 2.n Chứng minh rằng 1 1 2 1 2 n n n u Với từng số nguyên vẹn dương .n Ý tưởng: Khi gặp gỡ dạng bài bác có lẽ rằng nhiều các bạn sẽ nghĩ về tức thì cho tới việc minh chứng bởi vì phương pháp quy hấp thụ. Nhưng thực hiện như vậy thì chẳng với gì thú vị, vậy vì sao tất cả chúng ta ko demo đi tìm kiếm một cách giải không giống mang lại Việc này! Ta nhận biết đề bài bác cho 1 công thức truy hồi xác lập dãy ( )nu và mang lại số hạng thứ nhất 1 2u nên phát minh của tất cả chúng ta được xem là dò thám cơ hội đưa( )nu về một CSC hoặc CSN nhằm đơn giản dễ dàng tương tác với 1u tiếp tục mang lại. Giải: Ta ghi chép lại 1( ) : 2 1n n nu u u kể từ bại liệt tao tiếp tục dò thám cơ hội đem về CSN. Nhưng một phiền nhiễu nhỏ là ở vế phải của công thức truy hồi với số 1. Bây giờ nếu để n nu v d và thay cho vô mặt hàng tao được: 12( ) 1.n nv d v d Từ bại liệt nếu như 2 1 1d d d thì( )nv tiếp tục là một trong CSN với công bội 11 1 1 . 2 2 n n q v v Mà 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 . 2 2 n n n n n v u a v u v d Đến phía trên Việc coi như được minh chứng xong! Nhận xét: Bài toán bên trên rất rất giản dị và đơn giản và nổi bật mang lại dạng bài bác dò thám CTTQ của mặt hàng số. Thông thương chúng tao hoàn toàn có thể đơn giản dễ dàng giải nó bởi vì cách thức quy hấp thụ. Nhưng nếu như không mang lại trước CTTQ của mặt hàng số thì cách thức quy hấp thụ gần như là vô hiệu và cần phải có cách thức mang lại tuy nhiên trường hợp như vậy. Trong tập luyện tư liệu này tôi và những các bạn sẽ cùng với nhau đi tìm kiếm CTTQ của mặt hàng số. Tiếp theo tao tiếp tục xét một trong những ví dụ không giống tại đây. Ví dụ 2: Tìm CTTQ của dãy( )nu được xác định: 1 12, 2 2n nu u u n 2.n
  • 6. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 6 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Ý tưởng: Tiếp tục phát minh như ví dụ 1, song tao thấy ở vô công thức truy hồi tiếp tục mang lại xuất hiện một nhiều thức bám theo n là 2n nên thủ tục của tất cả chúng ta tiếp tục tương đối không giống một ít. Giải: Giả sử: (2).n nu v an b Thay vô mặt hàng tiếp tục mang lại tao được: 12( ( 1) ) 1,n nv an b v a n b n lựa chọn ,a bsao cho 2 ( 1) 2 1 ( 2) 1 0 ( )nan b a n b n a n b n v là một trong CSN và 1 12 .n nv v Thay 1 1,2 1 a n b . Tiếp tục thay cho ,a bvào(2)suy ra: 1 1 1 1 4v u 1 1 1 12 2 2 1.n n n n nv v u n Ví dụ 3: Cho mặt hàng số 1 1 1 ( ): 2. 3 2 n n n n u u n u u Tìm CTTQ của( ).nu Giải: Giả sử: 2 (3).n n nu v q Thay vô mặt hàng số tiếp tục mang lại tao được: 1 12 3( 2 ) 2n n n n nv q v q 1 1 1 3 2. 2 3 2 2 n n n n n v v q q q Thay vào(3)suy ra: 1 1 1 1 1 2 1 3 2 3 .n n n n nv u v u Nhận xét: Từ tía ví dụ bên trên, chúngta hoàn toàn có thể tuyên bố Việc tổng quát mắng sau: (cách giải tổng quát mắng tiếp tục trình bày cho tới vô phần Phương trình sai phân tuyến tính) Bài toán tổng quát mắng 1: Cho dãy( )nu được xác lập bởi 1 1 ( )n n u c au bu f n 2.n Trong bại liệt , ,a b clà những hằng số và ( )f n là một trong nhiều thức bám theo .n Tìm CTTQ của mặt hàng ( ).nu
  • 7. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 7 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Các bạn cũng có thể tự động tổng quát mắng Việc xấp xỉ dạng công thức, với một ít kiên trì biến đổi tôi cũng tìm kiếm được nhì CTTQ tại đây, ngoại giả chúng ta hãy tự động bản thân tổng quát mắng những công thức phức tạp rộng lớn. Công thức tổng quát mắng 1: Cho dãy( )nu được xác định: 1 1 1 2 n n u x n u qu d Trong bại liệt , 0a b là những hằng số, với CTTQ là: 1 1 1 1 ( 1) (khi 1) 1 (khi 1) 1 n n n x n d q u q q x d q q Công thức tổng quát mắng 2: Cho dãy( )nu được xác định: 1 1 1 1 2n n n u x n u au b Trong bại liệt , 0, ,a b là những hằng số. i. Nếu a thì 1 1 1( 1) .n n nu b n x ii. Nếu a thì 1 1 .n n n b b u a x a a Thế là chính thức tạo hình cách thức rồi đó nhỉ! Chúng tao nối tiếp bởi vì một Việc rất rất nổi tiếng sau đấy: Một song thỏ con cái (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) Tính từ lúc khi tròn xoe nhì mon tuổi tác cứ từng tháng đẻ rời khỏi một song thỏ con cái (gồm một thỏ đực và một thỏ cái). Giả sử kể từ khi thời điểm đầu tháng giêng với một đôi thỏ sơ sinh., căn vặn cho tới thời điểm đầu tháng n với từng nào song thỏ. Bài toán Fibonacci, trích cuốn Liber Abaci (sách về toán đố). Ý tưởng: Đây là một trong Việc đánh đố đơn giản, nhằm tiện mang lại việc giải toán, tao tiếp tục dò thám cơ hội ghi chép lại đề bài bác. Gọi nF là số song thỏ sau n mon. Thì 1 21, 1.F F Ta thường thấy cho tới mon tía, song thỏ ở tháng giêng đẻ còn song thỏ sinh rời khỏi ở mon nhì mới mẻ 1 mon tuổi tác nên ko đẻ nên với 3 2 1 3F đôi thỏ, cho tới mon loại tư thì song thỏ ở mon giêng và mon nhì đẻ nên với 4 3 2 5F song thỏ. Cứ tiếp tục diễn dịch vì vậy tao suy ra: 1 2.n n nF F F
  • 8. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 8 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Đề bài bác được ghi chép lại như sau: Ví dụ 4: (dãy Fibonacci) Dãy( )nF được xác lập 1 21, 1F F và 1 2n n nF F F 3.n Tìm CTTQ của ( ).nF Ý tưởng: Không như các Việc tiếp tục gặp gỡ phía trên, Việc này tất cả chúng ta gặp gỡ một công thức truy hồi liên quan liêu cho tới 3 số hạng của mặt hàng. Ý tưởng của tất cả chúng ta lúc này được xem là dò thám cơ hội thay đổi công thức truy hồi bại liệt về dạng giản dị và đơn giản rộng lớn chỉ tương quan cho tới 2 số hạng của mặt hàng. Giải: Giải sử: 1 22 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ( ) ( ) 1 n n n n nF F F F F F Suy rời khỏi 1 2, là nghiệm của phương trình: 2 1 0, giải PT tao được nhì nghiệm 1,2 1 5 . 2 Chọn 1 2 1 5 1 5 , . 2 2 2 2 1 2 1 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 . . 2 2 2 2 2 n n n nF F F F 1 1 1 5 1 5 . 2 2 n n nF F Áp dụng thành phẩm công thức tổng quát mắng 2 tao suy ra: 1 1 5 1 5 . 2 25 n n nF Chú ý: Bài toán bên trên được Leonardo Pisano (khoảng 1170-1250) hoặc hay còn gọi là Fibonacci phát biểu phiên thứ nhất ttrong một cuốn sách của tôi thương hiệu là Liber Abaci bên dưới dạng một bài toán đánh đố. Dãy Fibonacci là một trong mặt hàng số với rất rất nhiên phần mềm vô toán học tập, kinh tế tài chính, sinh học, hội họa,… Có thật nhiều đặc thù tuyệt đẹp mắt của mặt hàng Fibonacci tuy nhiên trong khuôn khổ của tập luyện tư liệu ko thể nói đến việc được, mong muốn hoàn toàn có thể nằm trong chúng ta trao thay đổi về dãy Fibonacci vô một chuyên mục khác! Công thức tất cả chúng ta vừa phải tìm kiếm được còn mang tên là công thức Binet bởi căn nhà toán học tập Pháp Binet (1786 – 1856) dò thám rời khỏi thứ nhất.
  • 9. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 9 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Từ thủ tục ở ví dụ 4, tao rút rời khỏi được Việc tổng quát mắng sau: Bài toán tổng quát mắng 2: Cho dãy( )nu được xác lập bởi 1 1 2 2 1 2 , 0n n n u x u x u au bu 3.n Trong bại liệt 1 2, , ,a b x x là những hằng số và 2 4 0a b . Tìm CTTQ của mặt hàng ( ).nu Giải: (tổng quát) Giải phương trình quánh trưng: 2 0.a b kể từ bại liệt dò thám được một 2, , Khi đó: 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1( ) ... ( )n n n n nu u u u u u 1 1 1 2 1 1 2( ) n n nu u x x Áp dụng Công thức tổng quát mắng 2: Nếu 1 2 2 a thì: 2 1 2 1 1( 1) 2 2 2 n n n a a a u x x n x 2 2 2 1 1( 1) ( 1) 2 2 2 2 n n a a a a x x n x k n l Trong bại liệt ,k l là nghiệm của hệ phương trình: 1 2 2 x a l k l x (sửa) Ví dụ 5: Cho dãy( )nu được xác định: 1 2 2 1 2 1, 3 5 6 2 2 1 2n n n u u u u u n n n Tìm CTTQ của ( )nu . Giải: Giải sử: 2 n nu v an bn c, hãy chọn , ,a b csao cho: 2 2 2 2 1 1 2 2 1 ( ) 5( ( 1) ( 1) ) 6( ( 2) ( 2) ) (5.1) 5 6 0 (5.2)n n n n n an bn c a n b n c a n b n c v v v
  • 10. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 10 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Thay thứu tự 0,1,2n vào(5.1)ta với hệ: 19 7 2 1 1 7 5 2 5 8 3 2 11 19 a b c a a b c b a b c c Đến phía trên tao giải tiếp (5.2)từ bại liệt với thế suy rời khỏi ( ),nu việc làm này van nài được dành riêng độc giả. Ví dụ 6: Tìm CTTQ của ( )nu biết: * 1 1, . 2 n n n u u u n u Giải: Ta có: 1 2 2 1 . 2 n n n n n n n u u u u u u u Đặt: 1 1 11 1 2 n n nn v v v vu 1 2 1 . 2 1 n n n n v u Nhận xét: Đây là dạng Việc dò thám CTTQ của mặt hàng số mang lại bởi vì một công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với những thông số hằng. Chúng tao hoàn toàn có thể đơn giản dễ dàng tổng quát mắng Việc xấp xỉ dạng sau đây: Bài toán tổng quát mắng 3: Cho dãy( )nu được xác lập bởi: *1 1 1 , .n n n pu q u u n ru s Trong bại liệt , , , ,p q r s là những hằng số. Tìm CTTQ của mặt hàng ( ).nu Giải: (tổng quát) Đặt: 2 1 1 1 1 ( )n n n n n n n n p v t q p rt v rt p s t q u v t v t v r v t s rv rt s . Ta chọn: 2 ( ) 0rt p s t q Khi đó: 1 1 1 n nv v . Từ bại liệt tìm kiếm được CTTQ của ( )nv rồi suy ra( ).nu
  • 11. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 11 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Chúng tao nối tiếp xét một ví dụ sau là dạng bài bác xác lập CTTQ của mặt hàng số lúc biết công thức truy hồi với căn thức Ví dụ 7: Cho dãy( )nu được xác định: 2 1 12, 2 3 2n n nu u u u . Tìm CTTQ của ( )nu . Ý tưởng: Ta thấy vô công thức truy hồi với căn thức cho nên việc thứ nhất của tất cả chúng ta thực hiện được xem là khai triển căn thức, kể từ này sẽ dò thám cơ hội đem mặt hàng về dạng giản dị và đơn giản rộng lớn. Giải: Viết lại công thức truy hồi: 2 2 2 2 1 1 12 3 2 4 2 0n n n n n n nu u u u u u u . Thay n bằng 1n tao đươc: 2 2 2 2 1 1 1 14 2 4 2 0n n n n n n n nu u u u u u u u . Từ bại liệt suy ra: 1nu và 1nu là nghiệm của phương trình: 2 2 4 2 0n nx xu u 1 1 4n n nu u u . Từ phía trên tao đã lấy được về dạng không xa lạ, chúng ta hãy chung tôi hoàn thiện nốt Việc này! Ví dụ 8: Cho 2 mặt hàng số 1 1 1 1 1, 1 ( ), ( ): 4 2n n n n n n n n u v u v u u v v u v Tìm CTTQ của ( )nu và( ).nv Giải: Thay n bởi vì 1n tao được: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 4 2 4 2( ) 4 2 2n n n n n n n n n n n n n n n u u v u u v u u v u u v v u v 1 1 14 2 4 5 6n n n n n nu u u u u u . Từ bại liệt tao với hệ 1 2 1 1 1 1, 2 2 5 6 n n n n n u u u u u u . Thay vô hệ tiếp tục mang lại, suy ra: 1 1 1 2 2 .n n n n nv v v
  • 12. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 12 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Nhận xét: Đây là dạng Việc xác lập CTTQ mặt hàng số mang lại bởi vì một hệ phương trình. Ta hoàn toàn có thể tổng quát bài toán xấp xỉ dạng: Bài toán tổng quát mắng 4: Cho dãy( ), ( )n nu v được xác lập bởi: 1 1 1 1 , n n n n n n u v u pu qv v ru sv Trong bại liệt , , , , ,p q r s là những hằng số. Tìm CTTQ của dãy( ), ( ).n nu v Giải: (tổng quát) Thay n bởi vì 1n tao được hệ 1 1 1 1 n n n n n n u pu qv v ru sv 1 1 1( )n n n n n nu pu qv pu q ru sv 1 1 1( ) ( ) ( )n n n n n npu qru s u pu p s u qr ps u 1 1( ) ( ) 0n n nu p s u ps qr u Từ phía trên tao đem được về dạng như Bài toán tổng quát mắng 2. Ngoài việc dò thám CTTQ của những Việc mang lại trước, tất cả chúng ta cũng hoàn toàn có thể tự động tổng quát mắng một số dạng mặt hàng số không giống. Chúng tao tiếp tục cùng với nhau xét một ví dụ: kiến thiết phương trình phi tuyến bậc cao kể từ nghiệm của một phương trình bậc 2. Xét phương trình bậc 2: 2 1 0x mx với nghiệm là 1x và 2x . Xét mộ số thực bất kì và mặt hàng số 2 2 1 2 . n n nu x x Khi đó 1 1 2 2 2 2 2 1 2 12 2 n n n nu x x u 2 1 2 .n n u u Từ phía trên tao với bài bác toán: Ví dụ 9: Cho dãy( )nu xác lập bởi: 2 1 12, 2 1.n nu u u Tìm CTTQ của ( ).nu
  • 13. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 13 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Giải: Ta thấy: 2 2 1 1 1 2 1 2. 1 2 2 n n n n u u u u Trong tình huống này 1 2 . Lại có: 0 0 2 2 2 0 1 2 1 2 1 2 4 4 1 0 2 u x x x x m x x 2 2 1,2 1 2 3 2 3 2 3 2 n n nx u . Chú ý: Trong phần ni tất cả chúng ta vừa phải cùng với nhau dò thám hiểu và nêu phát minh dò thám CTTQ của một số dạng mặt hàng số cơ bạn dạng. Tuy nhiên còn nhiều dạng khác nhau mặt hàng số không giống, bởi phạm vi tư liệu với hạn không thể nhắc không còn ở phía trên. Rất hy vọng chúng ta cảm thông và hãy tự động bản thân dò thám hiểu, khám phá những loại mặt hàng số mới! Trong những phần tiếp theo sau, tôi tiếp tục reviews một trong những Việc nhưng mà vô quy trình giải với sử dụng thành phẩm của phần này. Nhưng trước tiên, tất cả chúng ta hãy cùng với nhau dò thám hiểu một khái niệm rất rất thú vị sau!
  • 14. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 14 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Phương trình sai phân tuyến tính Phương trình sai phân tuyến tính là một trong dụng cụ cực mạnh trong các công việc dò thám CTTQ của mặt hàng số. Trong phần này, tôi tiếp tục reviews vơi chúng ta bao quát về phương trình sai phân tuyến tính cấp một và cấp cho nhì. 1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp cho một (bậc nhất) Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp cho một là phương trình sai phân dạng: * 1 1, ( ) .n nu au bu f n n Trong bại liệt , 0,a b là những hằng số và ( )f n là biểu thức của n mang lại trước. Phương pháp giải: Giải phương trình đặc thù 0a b tao tìm kiếm được . Giải sử: * ˆn n nu u u vô đó: * nu là nghiệm tổng quát mắng của phương trình thuần nhất 1 0n nau bu và ˆnu là nghiệm riêng rẽ tùy ý của phương trình ko thuần nhất 1 ( )n nau bu f n . Vậy * 1n nu q ( q là hằng số tiếp tục xác định sau). Để xác lập ˆnu tao thực hiện như sau: i. Nếu 1thì ˆnu là nhiều thức nằm trong bậc với ( ).f n ii. Nếu 1(khi bại liệt mặt hàng ( )nu là CSC) thì ˆ . ( )nu n g n vô bại liệt ( )g n là một trong nhiều thức cùng bậc với ( ).f n Thay ˆnu và phương trình, hệt nhau thông số tao tiếp tục tính được những thông số của ˆnu . 2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp cho hai Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp cho nhì là phương trình sai phân dạng: * 1 2 1 1, u , ( ) .n n nu au bu cu f n n Trong bại liệt , , , ,a b clà những hằng số không giống, 0a và ( )f n là biểu thức của n mang lại trước. Phương pháp giải: Giải phương trình quánh trưng 2 0a b c tao tìm kiếm được . i. Nếu 1 2, là nhì nghiệm thực bởi vì nhau: 1 1 thì: . n nu A B n vô đó ,A Bđược xác lập lúc biết 1 2,u u .
  • 15. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 15 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger ii. Nếu 1 2, là nhì nghiệm thực không giống nhau thì: 1 2 n n nu A B vô bại liệt ,A Bđược xác định lúc biết 1 2,u u . iii. Nếu là nhì nghiệm phức, fake sử: x iythì: (cos sin )r i và cos sin ,n nu r A n B n vô đó: 2 2 , tan , , 2 2 2 y r x nó và ,A Bđược xác lập Khi biết 1 2,u u . Chú ý: Như chúng ta tiếp tục thấy, nhiều suy đoán vô phần đi tìm kiếm công thức tổng quát mắng mặt hàng số của chúng tao khá tương đương với tư tưởng của phương trình sai phân tuyến tính. Tuy nhiên, những suy luận bại liệt rất rất bất ngờ, vô sáng sủa và trọn vẹn ko cần thiết cho tới một dụng cụ thời thượng như phương trình sai phân tuyến tính nên ko chúng ta ! Phương trình sai phân tuyến tính hoặc một trong những dụng cụ không giống (ví dụ: hàm sinh) là những khái niệm nằm trong toán học tập thời thượng, có không ít phần mềm trong các công việc dò thám CTTQ của mặt hàng số. Nhưng nhằm đáp ứng tính sơ cấp cho của tập luyện tư liệu, những định nghĩa bại liệt ko được nhắc tại đây, rất rất hy vọng độc giả thông cảm! P/s: Nếu những mình muốn dò thám hiểu về những định nghĩa trình bày bên trên hoàn toàn có thể tìm hiểu thêm vô một trong những tài liệu như: [1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên) - Chuyên đề tinh lọc mặt hàng số và vận dụng, NXB Giáo Dục 2008. [2] Các trình diễn đàn: http://maths.vn, http://diendantoanhoc.net,...
  • 16. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 16 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Sử dụng luật lệ thế lượng giác nhằm xác định CTTQ mặt hàng số Nhiêu công thức truy hồi phức tạp trở nên giản dị và đơn giản nhờ triển khai luật lệ thế lượng giác. Chúng tao hãy cùng với nhau xét những ví dụ sau. Ví dụ 8: Hãy dò thám cơ hội màn trình diễn 2 2 ... 2 bên dưới một dạng không giống. Ý tưởng: Đây là một trong Việc tầm cỡ vô lượng giác, nếu như tinh nghịch đôi mắt một ít tao hoàn toàn có thể đơn giản dễ dàng đưa nó về một Việc mặt hàng số, thủ tục bại liệt như sau: Đặt: 1 22, 2 2 ,..., 2 2 ... 2nu u u Từ bại liệt suy ra: 12n nu u . Giải: Ta thấy: 2 2 1 2 1 2 12 2cos 2 2 2 1 cos 4cos 4 4 8 u u u u u 2 2cos . 8 u Từ bại liệt suy ra: 1 2cos 2 n n u (các các bạn với thế người sử dụng minh chứng quy hấp thụ nhằm đánh giá lại). Tiếp tục phát minh người sử dụng luật lệ thế lượng giác, liên tưởng cho tới công thức To be continue…
  • 17. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 17 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger
  • 18. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 18 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Các Việc mặt hàng số lựa chọn lọc Trong phần này tôi tiếp tục thể hiện một trong những Việc mặt hàng số nhưng mà vô quy trình giải với dùng kết quả của những phần trước. Ví dụ: (HSG Quốc gia 1997) Cho mặt hàng số 1 2 1 1( ) : 7, 50, 4 5 1975 2.n n n nx x x x x x n Chứng minh rằng: 1996 1997.x Giải: Ví dụ: (IMO 1967) Trong một cuộc tranh tài thể thao với m huy chương, được vạc vô n ngày tranh tài. Ngày thứ nhất vạc một huy chương và 1 7 số huy chương còn sót lại. Ngày loại nhì vạc nhì huy chương và 1 7 số huy chương còn sót lại. Những ngày còn sót lại được nối tiếp tương tự động vì vậy. Ngày sau nằm trong còn lại n huy chương nhằm vạc. Hỏi với toàn bộ từng nào huy chương và được vạc vô bao nhiêu ngày? Ý tưởng: Thoạt coi tao thấy phía trên chỉ là một trong Việc đánh đố đơn giản, tuy nhiên nếu như “nhạy cảm” một ít ta có thể vươn lên là nó về một Việc mặt hàng số. Nếu gọi ku là số huy chương vạc trong thời gian ngày loại k thì: 0 1 2 1 1 1 6 1 6 , 1 ( 1), 2 1 ( 1) 2 1 ( 1) 7 7 7 7 7 7 u m u m u m m m 2 1 6 6 7 7 u u , bởi vì quy hấp thụ tao minh chứng được: 1 6 6 6 2. 7 7 7 7 k k k k u u k u k k Giải: Từ công thức truy hồi tìm kiếm được, tao suy ra: 1 6 ( 36) 6 42 7 n nu m n n 1 1 7 7 36 (7 42) ( 6) 6 6 n n n m n n . Do (7,6) 1và 1 6 6 6 0 6 36.n n n n m
  • 19. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 19 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Vậy với 36 huy chương vạc vô 6 ngày. To be continue…
  • 20. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 20 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Bài tập luyện đề nghị Bài ghi chép cho tới đấy là kết cổ động, sau thời điểm hiểu nội dung bài viết này, chúng ta hãy tự động bản thân giải một trong những bài bác tập đề nghị tại đây. Bài 1: Cho dãy 1 2 2 1 2 1 ( ): .2 2n n n n u u u u u n u Tìm CTTQ( ).nu Bài 2: (HSG Quốc gia bảng A - 1998) Cho mặt hàng số 0 1 1 1 20, 100 ( ): 4 5 trăng tròn 2 n n n n u u u u u u n Tìm số nguyên vẹn dương h nhỏ xíu nhất sao cho: * 1998 .n h nu u n To be continue…
  • 21. Đi dò thám công thức tổng quát mắng mặt hàng số Trần Duy Sơn 21 ______________________________________________________________________________ The love makes us stronger Tài liệu tham lam khảo [1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên) - Chuyên đề tinh lọc mặt hàng số và vận dụng, NXB Giáo Dục 2008. [2] Nguyễn Tất Thu – Chuyên đề hội giảng: Một số cách thức xác lập công thức tổng quát của mặt hàng số, 2008. [3] Một số chuyên mục kể từ Internet.